Es wird wohl niemanden mehr so richtig in Erstaunen versetzen, dass auch das Wort Geometrie aus dem Altgriechischen entstammt und in etwa Erdmessung oder Erdmaß bedeutet, wohl mit einem Schwerpunkt auf der Landvermessung. Daher versteht man unter Geometrie in erster Linie eine euklidische Elementar-Geometrie in der Fläche (2D) oder auch im Raum (3D), in der Abstände und Geraden, Dreiecke und Winkel, Kreise usw. die entscheidende Rolle spielen. Aber Geometrie ist noch viel mehr, und deshalb wurde auch der Begriff „Analytische Geometrie“ geprägt. Darüber hinaus ist die Liste der Gebiete der Mathematik, die heute alle zur Geometrie gezählt werden, lang und die einzelnen Begriffe sind inhaltlich derart komplex, dass nähere Erläuterungen den Rahmen dieses Textes sprengen würden. Daher richtet sich der Fokus recht eingeschränkt nur auf einige Aspekte der Trigonometrie und den analytischen Teil der Kurvendiskussion.

Trigonometrie

Nachdem man mit dem Satz des Pythagoras rechtwinklige Dreiecke sehr gut im Griff hatte, weil man nun wusste, dass das Quadrat der Hypotenuse c im rechtwinkligen Dreieck der Summe der Quadrate beider Katheten a und b entspricht,

c2 = a2 + b2

interessierte man sich natürlich auch für Dreiecke, die keinen rechten Winkel enthalten, soll ja vorkommen, gerade in der Landvermessung. Aber zunächst bleiben wir noch beim rechtwinkligen Dreieck. Um es eindeutig zu bestimmen braucht man bei jedem Dreieck drei Größen; der rechte Winkel gegenüber der Hypotenuse ist schon eine davon. Deshalb brauchte auch Pythagoras nur noch die beiden kleineren Seiten a und b für die Bestimmung von c. Was aber, wenn anstelle von a nur der Winkel alpha gegenüber von a gegeben ist ?
Dazu stelle man sich einen Leuchtpunkt an einem Rad vor (nun bitte nicht gerade genau an der Achse), und es ist stockdunkel, man sieht nichts weiter als den leuchtenden Punkt, und das Rad rollt mit konstanter Geschwindigkeit am Beobachter in einiger Entfernung vorbei. Was sieht er ?
Der Leuchtpunkt beschreibt eine Welle, das ist die Sinus- bzw. die Kosinus-Funktion. Für das rechtwinklige Dreieck gilt, dass der Kosinuswert des Winkels alpha dem Verhältnis von Ankathete (b liegt am Winkel alpha an) zu Hypotenuse entspricht.

cos(alpha) = b/c
oder umgeformt: c = b/cos(alpha)

Zur Berechnung der Seiten eines Dreiecks gibt es also mannigfache Alternativen zum Satz des Pythagoras.

Beim nicht-rechtwinkligen Dreieck wird tatsächlich eine dritte Größe benötigt; als Beispiel sei hier der Kosinussatz aufgeführt:

c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cos(gamma)

Was vorher voraus gesetzt war, nämlich die Kenntnis gamma=90°, muss nun unter Verwendung des bekannten, beliebigen Winkels gamma ausgedrückt werden. In diesem beliebigen Fall muss auch c nicht die längste Seite im Dreieck sein. Im Übrigen ist ja der Satz des Pythagoras auch nur ein Sonderfall des allgemeineren Kosinussatzes, denn bei gamma=90° wird der Kosinuswert zu null, und dann steht er wieder da, der Herr Pythagoras.

Analytische Geometrie

Von diesem umfangreichen Gebiet soll hier lediglich exemplarisch die Kurvendiskussion angesprochen werden. Sie wird beispielsweise immer dort gebraucht, wo es wichtig ist, die Extremwerte (Minima und Maxima) einer Kurve bzw. einer Funktion zu kennen; ein Beispiel wäre der höchste Punkt eines Wurfgeschosses oder einer Rakete. Ein Minimum oder Maximum zeichnet sich dadurch aus, dass die Tangente an der Kurve an dieser Stelle horizontal verläuft, also keine Steigung mehr hat (null). Die Steigung der Tangente entspricht der Ableitung der Funktion

f'(x) = df(x)/dx = 0 ;

die selbst wieder eine Funktion von x darstellt. Insofern geht es auch in der Geometrie sehr oft darum, die Nullstellen einer Funktion zu berechnen. Für die Ableitung einer Funktion gibt es Ableitungsregeln, die z.T. in Tabellenwerken zusammen gefasst sind. Allerdings ist stets darauf zu achten, dass komplizierte Funktionen zunächst einmal darauf zu prüfen sind, ob sie ggf. geschickt vereinfacht werden können. Ein Beispiel dafür sind Quotienten von Polynomfunktionen. Insbesondere dann, wenn der Grad des Polynoms im Zähler größer ist als der Grad des Polynoms im Nenner, bietet es sich meistens an, zuerst einmal die Polynomdivision richtig durchzuführen. Im Ergebnis kann dann eine wirklich einfache Funktion dabei heraus kommen.