Die Kurvendiskussion in der Mathematik

Die höhere Mathematik und speziell der mathematische Bereich der Analysis widmet sich verstärkt mit der Kurvendiskussion. Hierbei werden die Graphen verschiedener Funktionen nach ihren charakteristischen Eigenschaften untersucht. Vor allem in der Geometrie besitzt die Kurvendiskussion eine herausragende Bedeutung. In der Regel geht man einer speziellen Reihenfolge nach die möglichen Eigenschaften der Funktion durch. Es wird nach dem Definitionsbereich gesucht, sowie den möglichen Nullstellen, Extremstellen, Wendepunkte und allgemeinen Symmetrieeigenschaften. Auch Polstellen und die Steigungsbereiche werden mit der Kurvendiskussion erfasst und dokumentiert.

Der Definitionsbereich

In der Regel wird als möglicher Definitionsbereich die Menge der reelen Zahlen in Betracht gezogen. Je nachdem wie die Funktion aufgebaut ist, kann der Definitionsbereich Lücken haben. Dies ist beispielsweise bei gebrochen rationalen Funktionen der Fall, da der Nenner niemals 0 werden darf. Hier sollte der Wert ausgeschlossen werden, welcher den gesamten Nenner auf 0 bringt. Auch bei Wurzelfunktionen muss beachtet werden, dass Terme unter der Wurzel niemals negativ sein dürfen.

Schnittstellen mit den Achsen

Auch interessant zu wissen ist es, an welchen Stellen der Graph die X-Achse und Y-Achse schneidet. Um den Schnittpunkt mit der Y-Achse zu ermitteln, muss lediglich f(0) berechnet werden. Die Schnittpunkte mit der X-Achse werden auch Nullstellen genannt und werden ermittelt, indem man die X-Stellen sucht, die die Funktion f(x)=0 erfüllen.

Eigenschaften der Symmetrie

Auch die Frage nach der Symmetrie des Graphens kann für die Kurvendiskussion interessant sein. Mit der Vorschrift f(-x)=f(x) kann die Symmetrie bezüglich der Y-Achse ermittelt werden. Für f(-x)=-f(x) gilt die Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs.

Extrempunkte

Die Extrempunkte sind mit die interessantesten Eigenschaften von Graphen. Maxima und Minima können ermittelt werden, indem die Ableitung gebildet wird. Genau an der Stelle, an der die Ableitung f'(x)=0 ergibt, ist ein Extrempunkt zu erwarten, da es an diesem Punkt keine Steigung gibt. Ob es sich um ein Minima oder Maxima handelt, kann gezeigt werden, indem die zweite Ableitung f“ gebildet wird. Für positive Werte in f“ ist ein Minimum an der Stelle anzutreffen, für negative Werte ein Maximum. Mit dem Vorzeichenwechsel kann darüber hinaus nach dem Monotonieverhalten und den Wendepunkten gesucht werden.

Fazit

Mit der Kurvendiskussion werden wichtige Eigenschaften einer Funktion analysiert. In der Praxis sind Kurvendiskussionen vor allem in der angewandten Mathematik, aber auch in den Wirtschaftswissenschaften gängig.