Lineare Funktionen

Lineare Funktionen sind Polynomfunktionen ersten Grades. Sie zeichnen sich durch den Aufbau a*x+b aus. A und b sind dabei konstante Werte. X ist eine Variable. Gewöhnlich werden lineare Funktionen nach dem Muster f(x)= 2x+3 aufgebaut. Funktionen zweiten Grades sind quadratische Funktionen.

Lineare Funktionen zeichnen.

Im ersten Schritt wird eine Wertetabelle angelegt. Sie besteht aus Spalten für die x und y Glieder der Gleichung y=2x.
Es werden für den Wert x verschiedene negative und positive Zahlen genommen. Das Ergebnis ergibt dann den Y-Wert.
Beispiel: In die lineare Funktion: y=2x werden für x die Werte: -5, -1, 0, 1, 5 eingesetzt. Die Ergebnisse sind dann y= -10, -2, 0, 2, und 10.
Die Werte werden nun in ein x,y-Koordinatensystem eingezeichnet.

Das Koordinatensystem hat eine waagerechte Achse, die x-Linie und eine senkrechte Achse, die Y-Linie. Sie schneiden sich in einem Kreuz. Da wo sie sich schneiden ist der 0,0 Punkt. Links vom Punkt (0,0 )liegen die negativen Zahlen der x-Achse. Unter dem Punkt (0,0) liegen die negativen Werte der y-Achse.
Es werden nun die Stellen im Koordinatensystem gesucht, wo sich x-Werte und y-Werte treffen. Auf der waagerechten x-Achse wird der Punkt 5 gesucht. Nun wird senkrecht hoch gegangen, bis der dazugehörige Wert auf der y-Achse 10 gefunden ist. Er wird mit einem Punkt oder x eingezeichnet. Sind nun alle x Werte und die dazugehörigen y-Werte gezeichnet, kann mit einem Lineal die lineare Funktion durch die Punkte eingetragen werden.

Alltagspraktisches Beispiel für lineare Funktionen.

Ein Stromversorger verkauft für eine kWh 0,14 € Strom und nimmt dabei eine Grundgebühr von 6 Euro im Monat.
Es soll eine Funktion aufgestellt werden.
Für eine Kilowattstunde werden 0,14 Euro berechnet. Für zwei Kilowattstunden ergeben sich dann 0,14 *2. Die Grundgebühr bleibt über die ganze Vertragslaufzeit konstant. Das variable Glied ist nun 0,14 * x. Das konstante Glied ist 6 Euro. Die lineare Funktion ist y=0,14x+6.
Solche linearen Funktionen erlauben es nun verschiedene Fragen zu beantworten. Es könnte ein Graph für eine Abnahme bis zu 100 Kilowatt gezeichnet werden. Das Koordinatensystem endet bei x=100 Kilowatt. Durch das konstante Glied wird beim Nullstellen berechnen keine Nullstelle für Y gefunden. 0,14x+6=0 ist beim Einsatz von x=0 immer 6 Euro für y. Beim Einsatz von 100 Kilowatt ist das Ergebnis 20 Euro. Der Graph beginnt bei x=0, Y=6 und findet seinen zweiten Punkt bei x=100, Y=20.
Für das Zeichnen linearer Funktionen sind nur zwei Punkte notwendig.
Eine weitere Frage gilt dem Stromverbrauch in Kilowatt. 4 Monate kosten 150,40 Euro. Wie viel kWh wurden gekauft.
Die Grundgebühr für eine Monat ist 6 Euro. Für vier Monate ist sie dann: 24 Euro. Der Preis pro Kilowatt bleibt gleich. Y=0,14x+24. 150,40=0,14x+24. Die Funktion wird nach x aufgelöst. Das Ergebnis ist 902,86 Kilowatt pro Stunde.
Die linearen Funktionen müssen, um die alltäglichen Probleme darzustellen, einen proportionalen Zusammenhang der betrachteten Größen haben. Fehlt der Zusammenhang, kann auch eine höhere Polynomfunktion wie die quadratische Funktion das Problem beschreiben.