Das Lösen von quadratischen Funktionen stellt sich auf dem ersten Blick als unüberwindbare Hürde dar. Folgen im Anschluss noch Begriffe wie ganzrationale Funktion oder Polynom zweiten Grades, die im Grunde nichts Anderes aussagen, dann scheint die endgültige Verwirrung ihren Höhepunkt erreicht zu haben. Ist erst einmal der Lösungsweg verinnerlicht, so können auch Polynome höherer Grade praktisch spielend errechnet werden, indem durch Polynom-Division die quadratische Funktion zur Variablen x aufgelöst wird.

Die Darstellung

Der Graph einer quadratischen Funktion ist immer eine Parabel, deren genaue Form von den vorgegebenen Parametern abhängt. Die Grundform der quadratischen Funktion lautet: ax² + bx + c. Ist der Koeffizient a größer als 0, so ist die Parabel nach oben geöffnet. Nach unten ist sie geöffnet, sobald der Koeffizient a kleiner als 0 ist. Ebenfalls Einfluss auf die Darstellung der Parabel nimmt die Größe des Betrages von a. Wenn der Betrag von a kleiner als 1 ist, dann erscheint die Parabel flacher und somit breiter. Je größer der Betrag von a ist, desto schlanker und steiler erscheint der Graph der quadratischen Funktion.

Die beiden Parameter b und c üben ebenfalls Einfluss auf die Darstellung aus. So bewirkt eine Veränderung des Parameters b eine Verschiebung sowohl auf der x-Achse als auch auf der y-Achse. Der Parameter c gibt lediglich eine Verschiebung auf der y-Achse an.

Das Lösen einer quadratischen Funktion

Mit der Lösung der quadratischen Funktion lassen sich die Nullstellen berechnen, wenn die Funktion f(x) = 0 gesetzt wird. Dazu ist er erforderlich, die Normalform der quadratischen Funktion zu errechnen und im Anschluss die pq-Formel anzuwenden. Die Normalform der quadratischen Gleichung lautet: x² + px + q = 0. Lautet die quadratische Funktion beispielsweise 4x² + 16x + 4 = 0, so ist die 4 der Divisor aller Werte und die Normalform lautet: x² + 4x + 1 = 0.
Die pq-Formel lautet: x{1,2} = – p/2 +/- ?((p/2)²- q). Im vorgegebenen Beispiel lautet die Formel nun x{1,2} = – 2 +/- ? (2² – 1) = -2 +/- ?3.
Die Nullstellen der quadratischen Gleichung sind nun rechnerisch zu ermitteln. Es gilt für x{1}: -2 + 1,732 also ist der Wert für x{1} = -0,268 und für x{2}: -2 – 1,732 = -3,732

Mit dem Wurzelsatz von Vieta kann die Richtigkeit der Lösungen überprüft werden, denn es gilt: x{1} + x{2} = -p sowie x{1} * x{2} = q.