Der größte gemeinsame Teiler, kurz ggT ist ein Begriff aus der Mathematik. Er bezieht sich auf zwei Zahlen A und B, wobei der größte gemeinsame Teiler sowohl durch A, als auch durch B teilbar ist und größer ist, als jede andere Zahl, die ebenfalls sowohl durch A, als auch durch B teilbar ist. A, B und der ggT sind hier ganze natürliche Zahlen. Neben der Abkürzung ggT ist auch gcd (englisch: greates common divisor).

Berechnung

Zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers gibt es einen einfachen Rechenweg, den euklidischen Algorithmus. Hierzu werden aufeinanderfolgende Divisionen mit ganzzahligem Ergebnis und Rest durchgeführt. Zunächst wird A durch B geteilt, dann B durch den Rest aus A:B, dann der Rest aus dieser Division durch den vorherigen Rest, bis schlussendlich eine Division ohne Rest entsteht. Der letzte Rest vor dieser Division ist auch der größte gemeinesame Teiler von A und B.

Beispiel:
A sei 1071, B sei 1029
1071 : 1029 = 1, Rest 42
1029 : 42 = 24, Rest 21
42 : 21 = 0

Der größte gemeinsame Teiler von A=1071 und B=1029 ist also 21.

Ebenfalls kann der größte gemeinsame Teiler über die Primfaktorzerlegung bestimmt werden. Hierfür werden A und B jeweils in ihre Primfaktoren zerlegt. 30 zum Beispiel in 2 x 3 x 5. Kommt eine Primzahl mehr als einmal vor, so wird er als Potenz dargestellt. 8 zum Beispiel ist 2 x 2 x 2 bzw. 2^3

Der größte gemeinsame Teiler kann durch Multiplikation alle gemeinsamen Primfaktoren von A und B errechnet werden, wobei die jeweils kleinere Potenz gewählt wird.

Beispiel:
A sei 3528, B sei 3780
3528 = 2^3 x 3^2 x 7^2
3780 = 2^2 x 3^3 x 5^1 x 7^1

Das ggT ist 2^2 x 3^2 x 7^1 = 252

Praktische Anwendung

In der Bruchrechnung findet der größte gemeinsame Teiler, vor allem beim Kürzen, seine Anwendung.

In der Bruchrechnung findet der größte gemeinsame Teiler, vor allem beim Kürzen, seine Anwendung.

Der größte gemeinsame Teiler finden Anwendung in der Zahlentheorie und der Bruchrechnung. Die häufigste Anwendung ist das Kürzen von Brüchen. Wäre im oben genannten Beispiel ein Feld 3528 Meter lang und 3780 Meter breit, so wäre das Seitenverhältnis 3528/3780. Wird der Bruch mit Hilfe des ggT gekürzt, um die Zahlen kleiner und dadurch anschaulicher zu machen, so ergibt sich (3528 : 252) / (3780 : 252), also 14/15. Das Feld hat ein Seitenverhältnis von 14 zu 15.