Es begann (wahrscheinlich) mit dem Abzählen von Äpfeln in einem Korb, wobei anfangs noch die 10 Finger der Hände zu Hilfe genommen wurde. Nun, niemand wird wohl jemals das Gegenteil beweisen können. Natürliche Dinge können einzeln, sozusagen als ganze Einheit abgezählt werden.

Es ist daher so naheliegend, die Zahlen:

1, 2, 3, 4, 5, ………, 237859, 237860, 237861, ……..

als natürliche Zahlen zu bezeichnen. In der Mathematik spricht man von der Menge der natürlichen Zahlen und kürzt diese ziemlich knapp mit einem N ab, wobei der erste Aufstrich des N schick als Doppelstrich markiert ist. Die Null ist schon etwas Besonderes, und nicht jede natürliche Person sieht darin wirklich gern eine natürliche Zahl, obwohl sie ja quasi ganz gut hinein passt am Anfang der oben gezeigten Zahlenreihe. Die Mathematiker behelfen sich ganz einfach mit der Gründung einer neuen Menge, die sie N0 nennen, wieder mit dem hippen Doppelstrich vorne und die Null etwas kleiner als Index nach unten versetzt. Sie drücken das dann formal so aus:

N ist eine Teilmenge von N0

Im Alltag hat man meist nur mit natürlichen Zahlen zu tun.

Im Alltag hat man meist nur mit natürlichen Zahlen zu tun.

Die nächste naheliegende Idee ist dann, die obige Zahlenreihe noch weiter nach links mit negativen Zahlen aufzufüllen, und ja, auch das ist für die Mathematiker schon wieder eine neue Menge mit der Bezeichnung Z für „Ganze Zahlen“, klar mit niedlichem Doppelstrich:

Z = {….., -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, …..}

und logischerweise gilt: N0 ist eine Teilmenge von Z

Um die Sache etwas abzukürzen, werden im Folgenden die anderen wichtigen Zahlenmengen, die sich die Mathematiker noch so ausgedacht haben, nur einmal kurz erwähnt:

Rationale Zahlen Q (für Quotient) sind alle positiven und negativen Kommazahlen, die auch als Bruch dargestellt werden können.

Irrationale Zahlen I sind alle positiven und negativen Kommazahlen, die eben nicht als Bruch dargestellt werden können. Diese Zahlen lassen sich z. B. durch unendliche Reihen oder Folgen erzeugen; Beispiele sind die Euler’sche Zahl e oder die Kreiszahl pi.

Reelle Zahlen R sind die rationalen und die irrationalen Zahlen zusammen genommen (Q + I).

Komplexe Zahlen K sind Zahlen, die es in der Realität gar nicht geben darf, denn sie befinden sich in einer für uns nicht sichtbaren Ebene. Während man alle vorher genannten Zahlen auf einem Zahlenstrahl darstellen kann, muss man für die komplexen Zahlen einen weiteren dazu senkrechten Zahlenstrahl eröffnen, auf dem sich die so genannten imaginären Anteile der komplexen Zahlen befinden sollen. Und imaginär ist eben das, was es nicht gibt, nämlich die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl. Zu diesem Zweck haben die Mathematiker die folgende Definition angeführt:

i = Wurzel(-1)

Eine beliebige komplexe Zahl c in jener komplexen Ebene ist dann prinzipiell so aufgebaut:

c = a + ib

wobei a und b reelle Zahlen sind.

Kommen wir abschließend noch einmal zurück zu den natürlichen Zahlen. Es gibt nämlich eine besondere Sorte natürlicher Zahlen; sie werden Primzahlen genannt. Das Vorwort Prim hat etwas mit primär zu tun, während alle anderen natürlichen Zahlen, die keine Primzahlen sind, sich als Produkt anderer natürlicher Zahlen zusammen setzen lassen. Mit anderen Worten: Primzahlen sind all jene natürlichen Zahlen, die sich nur durch 1 oder durch sich selbst ganzzahlig teilen lassen. Beispiele dafür sind:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, …..

Für alle anderen natürlichen Zahlen gibt es mehr als nur diese zwei Möglichkeiten der ganzzahligen Teilbarkeit, nehmen wir z. B. die Zahl 30:

30/1 = 30
30/2 = 15
30/3 = 10
30/5 = 6
30/6 = 5
30/10 = 3
30/15 = 2
30/30 = 1

Die Primfaktorzerlegung ist der Hinweis darauf, dass jede natürliche Zahl als Produkt mehrerer Primzahlen (im Sinne von Basiszahlen) ausgedrückt werden kann. Um beim vorherigen Beispiel zu bleiben:

30 = 2 x 3 x 5

oder noch ein anderes Beispiel:

1001 = 7 x 11 x 13

Übringens: die Zahlen 0 und 1 sind weder Primzahlen noch zusammengesetzte Zahlen.