Quadratische Gleichungen beschreiben allgemein Parabeln – mal nach unten gerichtet, mal weit geöffnet, mal verschoben. Quadratische Gleichungen sind die Sorte von Gleichungen, die jedem Schüler in seiner Laufbahn wohl am häufigsten begegnet sind. In unzähligen Varianten sind sie aufzustellen, aus einem Graphen herzuleiten oder aufzulösen, und oft genug erwecken diese Aufgaben den Eindruck, quadratische Gleichungen seien eine hochkomplexe mathematische Modellierung – tatsächlich aber sind sie immer nach dem gleichen Schema aufgebaut und immer gleich lösbar.

 

Die allgemeine Form

Normalerweise wird eine quadratische Gleichung als sogenannter Polynom-Term aufgestellt. Das bedeutet, dass die Variable x mehrmals mit unterschiedlichen Exponenten vorkommt – im Falle der quadratischen Gleichungen kann das x^2, x^1=x und x^0=1 sein. Diese Einzelterme werden absteigend nach dem Exponenten geordnet, und so ergibt sich die allgemeine Form der quadratischen Gleichung:

ax² + bx + c = 0

Diese Form sollte immer angestrebt werden, wenn quadratische Gleichungen aufzulösen sind, denn weil die rechte Seite des Terms immer 0 ist, kann die sogenannte PQ-Formel zur Lösung angewendet werden.

Die Alternative: Die Scheitelpunktform

Die Scheitelpunktform kann über quadratische Ergänzung aus der allgemeinen Form hergeleitet werden und sieht grundsätzlich so aus:

y = d*(x²-e) + f

Diese Form der Darstellung bietet einen großen Vorteil: Es lassen sich sofort die Position des Scheitelpunkts der Parabel, daher auch der Name, und somit die Verschiebung der Parabel in x-Richtung (Parameter e) und y-Richtung (Parameter f) ablesen, auch die Stärke der Krümmung (d groß bewirkt starke Krümmung, d klein eine größere Öffnung) und die Richtung der Öffnung (d < 0 bewirkt eine Öffnung nach unten) ablesen. Soll eine Parabel aus einer quadratischen Gleichung skizziert werden, ist die Scheitelpunktform also besser geeignet als die allgemeine Form.

Lösung quadratischer Gleichungen mit der PQ-Formel


Die PQ-Formel erleichtert das Lösen quadratischer Gleichungen enorm, weil man die Formel nur einmal auswendig lernen muss und in der Folge jede beliebige quadratische Gleichung, die in der allgemeinen Form vorliegt, nach dem immer gleichen Schema auflösen kann. Die einzige Bedingung hierfür ist, dass die Gleichung in der sogenannten Normalform steht, das heißt, dass vor kein Faktor steht (a=1). Ist dies nicht der Fall, so muss zunächst die gesamte Gleichung durch a geteilt werden und man erhält die Form:

0 = x² + px + q

Die beiden Parameter p und q werden nun, wie der Name „PQ-Formel“ schon sagt, zur Lösung verwendet und es ergibt sich:

x1 = -0.5p + Wurzel( (-p)² – q )

bzw.

x2 = -0.5p – Wurzel( (-p)² – q )

Hier wird ersichtlich, dass es, wenn man quadratische Gleichungen löst, für x immer zwei mögliche Lösungen gibt, weil eine Wurzel aus einer Zahl immer positiv oder negativ sein kann. Mit x1 und x2 hat man durch die PQ-Formel blitzschnell und nach dem immer gleichen Schema die Lösungen einer quadratischen Gleichung ermittelt.

Aufgaben und Lösungen

 

Das beherrschen von Quadratischen Gleichungen gehört in der Mathematik zum Standard. Sie gehören zum Bereich der Analysis. Im folgenden Artikel werden einige Beispiele gegeben, dessen Schwierigkeitsgrad nach und nach zunimmt.

Aufgabe 1
In der ersten Aufgabe ist die Quadratische Gleichung x² – 3x + 2 = 0 gegeben. Da es sich schon um die Normalform handelt (keine Zahl vor dem x² und die andere Seite ist 0), kann man gleich mit der p-q Formel die Unbekannte ausrechnen. Die allgemeine Formel ist –p/2 +- Wurzel aus ((p/2)² – q).
Dabei ist p die Zahl vor dem x und q die von der Unbekannten unabhängige Zahl. In diesem Beispiel als p = -3 (unbedingt Vorzeichen beachten!) und q = 2.
Einsetzen ergibt 1,5 +- 0,5, man erhält für x also zwei Ergebnisse: x1 = 2 und x2= 1.
Aufgabe 2
In der nächsten Aufgabe ist die Quadratische Gleichung 4x² + 16x = 24 gegeben. Nun muss man zunächst die Gleichung auf die Normalform bringen.
Dazu teilt man zunächst beide Seiten durch 4, dann erhält man x² + 4x = 6.
Jetzt kann man auf beiden Seiten minus 6 rechnen.
Danach erhält man x² + 4x – 6 = 0. Jetzt ist die Lösung mithilfe der p-q Formel ausrechenbar.
Nach der Anwendung erhält man: -2 +- Wurzel aus 10. Die Quadratische Gleichung hat die Lösungen 1,16 und – 5,16.
Aufgabe 3
Nun wird es etwas komplizierter. Gegeben sei die Gleichung x * (3x + 6) + x (x -3) = x² + 1, nun muss man zunächst die Klammern auflösen.
Danach erhält man: 3x² + 6x + x² – 3x = x² + 1. Zusammenfassen ergibt: 3x² + 3x = x² + 1.
Jetzt muss man auf beiden Seiten minus x² + 1 rechnen. Das ergibt: 2x² + 3x – 1 = 0.
Für die nötige Normalform muss man jetzt noch alles durch 2 teilen, damit vor dem x² nichts mehr steht. Mit x² + 1,5x – 0,5 = 0 kann man wieder die p-q Formel anwenden. -0,75 +- Wurzel aus 17 / 4. Die Quadratische Gleichung hat die beiden Lösungen 0,28 und -1,78.
Anstatt der p-q Formel können auch die meisten Taschenrechner eine Quadratische Gleichung lösen. Allerdings sollte man eine Quadratische Gleichung mit der p-q Formel lösen können. Die Quadratische Gleichung aus dem Beispiel wurde aufgerundet, das heißt, dass die Ergebnisse nur auf die zweite Kommastelle genau sind.
Mit etwas Übung sollte man eine Quadratische Gleichung schnell und vor allem fehlerfrei lösen können.