Der Einsatz von linearen Gleichungen. Wie können aus absoluten Zahlen ein Prozentverhältnis berechnet werden? Wie berechnet sich die Geschwindigkeit nach einer bestimmten Zeit bei einer definierten Beschleunigung? Und wie kann ein Produzent von drei verschiedenen Produkten die beste Zusammensetzung seiner Produkte berechnen? Die Lösungen bieten bei allen drei Fragestellungen die linearen Gleichungen, wobei für ein jedes dieser Probleme eine unterschiedliche Anzahl an Variablen vorhanden sind.

Die Definition von linearen Gleichungen

Lineare Gleichungen sind Gleichungen, bei der nur Linearkombinationen der Variablen vorkommen. Die einfachste Form für lineare Gleichungen ist eine skalare lineare Gleichung. Weitere wichtige Typen linearer Gleichungen sind lineare Vektorgleichungen, lineare Differentialgleichungen und lineare Integralgleichungen. Skalare lineare Gleichungen können eine, zwei oder mehrere Unbekannte haben und lassen sich danach auch klassifizieren.

Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten

Diese einfachste Form einer linearen Gleichung besitzt in der Grundform die Unbekannte x und die von x unabhängigen Konstanten a und b. Ist b = 0, dann wird die Gleichung als homogene lineare Gleichung beschrieben. Sind beide Konstanten a und b ungleich 0, dann existiert auch eine exakte Lösung für x. Sind sowohl a als auch b gleich 0, existieren unendlich viele Lösungen, da für jedes x die Gleichung erfüllt ist.

Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten


Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten besitzen in der Regel folgende Beschreibungen. Die Unbekannten werden als x und y bezeichnet, die Konstanten erhalten die Bezeichnung a, b und c. Die Grundform der linearen Gleichung mit zwei Unbekannten ist ax + by = c. Die Lösung für solche lineare Gleichungen bilden eine Gerade im zweidimensionalen Raum und können im x-y-Koordinatensystem dargestellt werden. Dies trifft nicht auf den Fall zu, wenn a und b gleich null sind. Ist dann auch c = 0, dann ist die Lösungsmenge der gesamte zweidimensionale Raum, bei c ungleich 0 existiert keine Lösung.

Lineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten

Bei drei oder mehr Unbekannten wird in der Regel eine andere Konvention der Darstellung genutzt. Die Konstanten vor den Unbekannten werden mit a1 bis an bezeichnet, wobei n die Anzahl der Unbekannten ist. Die Unbekannten selbst sind ebenfalls mit x1 bis xn bezeichnet, die fehlende Konstante der Gleichung ist dann noch b. Auch hier gilt die Regel, dass wenn alle Konstanten a = 0 sind und b = 0 ist, die Lösungsmenge der gesamte n-dimensionale Raum ist. Ist aber b ungleich 0, existiert wieder keine Lösung. Sind die Konstanten a1 bis an und b ungleich 0, dann sind die Lösungen dieser linearen Gleichungen im Allgemeinen (n-1)-dimensionale Teilmengen des zugehörigen n-dimensionalen Raumes.