Eine quadratische Funktion wird in der Mathematik auch Polynom zweiten Grades genannt und beschreibt ein Funktionstyp mit der Form: f(x) = a*x^2 + b*x + c. Dabei ist a ungleich 0, sodass der X-Wert quadriert wird. Ein Spezialfall ist die Quadratfunktion. Diese ist gegeben durch die Festlegung der Parameter mit a=1, b=0 und c=0. So erhält man den gesuchten Term x^2, welcher eine Normalparabel im Koordinatensysem darstellt.

 

Die Parameter a,b und c

Die drei Parameter der Ursprungsform haben einen wesentlichen Einfluss auf die Abbildung der Funktion. Der Parameter a hat dabei einen Einfluss auf den quadrierten X-Wert. Dabei gilt, wenn a > 0 ist, dann ist die Parabel nach oben geöffnet. Ist a < 0, so öffnet sich die Parabel nach unten und sieht in etwa aus wie eine abgerundete Pyramide. Ist der Betrag von a, also |a| < 1, so wirkt die Parabel zusammengeschoben und damit auch breiter und abgeflachter. Bei einem Wert von |a| > 1 streckt sich die Abbildung in die Länge und wirkt wie ein steiler, schlanker Berg.

Während für quadratische Funktionen also mit a=1 die Normalparabel definiert ist, so ist der Sonderfall a=-1 die an der X-Achse gespiegelte Normalparabel.

Der Parameter b gibt hingegen Verschiebungen in Richtung der beiden Achsen an. Eine Erhöhung von b um 1 bewirkt eine Verschiebung des Graphens um 0.5*a nach links und (2*b+1)/4*a nach unten. Wird b um 1 vermindert wirkt die Verschiebung um 0.5*a nach rechts, sowie (2*b-1)/4*a nach oben. Desweiteren zeigt der Parameter die Steigung der Parabel an der Y-Achse, woraus man wiederum Rückschlüsse über das Vorhandensein und die Lage möglicher Nullstellen ziehen kann.

Die Nullstelle von quadratische Funktionen


Die Nullstellen sind in der Regel äußerst interessant. Herausfinden kann man diese, indem man die Gleichung: a*x^2 + b*x + c Null setzt und dementsprechend auflöst. Weitere interessante Punkte sind beispielsweise Schnittpunkte mit der Y-Achse und mit anderen Graphen.

Lösung von quadratische Funktionen

Gelöst werden können quadratische Funktionen, wie auch quadratische Gleichungen, mit den üblichen Rechenverfahren. Ist beispielsweise die Form: x^2 + p*x + q = 0 bei der Auflösung gekommen, so empfiehlt sich die pq-Formel. Diese liefert zwei Lösungen, und zwar: 0.5*p + Wurzel((p/2)^2 -q) sowie 0.5*p + Wurzel((p/2)^2 -q). Auch der Satz von Vietá kann Abhilfe verschaffen.

Anwendungsgebiete

Quadratische Funktionen finden ihre Anwendung auch in den Wissenschaften. Die BWL und VWL beispielsweise gebraucht quadratische Funktionen für die Berechnung von Kostenfunktionen, Gewinnfunktionen und Absatzfunktionen. Auch in der Statistik, Mathematik und in Rechnungswesen sind solche Funktionstypen gebräuchlich.