Ein Drachenviereck ist eine besondere Form eines ebenen Vierecks. Es heißt so, weil es in der gängigen Variante an die typische Form des Flug-Spielzeuges für Kinder erinnert. Man kann sich ein solches Drachenviereck als Zusammenlegung von zwei gleichschenkligen Dreiecken vorstellen, die in der Basis übereinstimmen bzw. die an der (bei beiden Dreiecken gleich langen) Basis aneinander gelegt wurden.

Drachenviereck

Ein Drachenviereck ist eine besondere Form eines ebenen Vierecks.

Definition

Als definierend für die Eigenschaft ein Drachenviereck zu sein gilt jeweils eine dieser beiden Bedingungen:

  • eine der Diagonalen des Vierecks (entweder die Strecke AC oder die Strecke BD) ist Symmetrieachse (Spiegelachse) des Vierecks
  • das Viereck besitzt zwei Paare gleich langer Seiten, wobei die gleich langen Seiten jeweils nebeneinander liegen (z. B. |AB|=|AD| und |CB|=|CD|)

Damit definiert man aber nicht nur die oben beschriebenen ‚üblichen’ drachen-förmigen Vierecke, sondern auch solche, die an die Form eines Pfeiles erinnern, bei denen bildlich das kleinere der gleichschenkligen Dreiecke an der Basis in das größere Dreieck hinein geklappt wurde. In der Mathematik spricht man in beiden Fällen von Deltoiden. Die zuerst beschriebene, ‚klassische’ Drachenform bezeichnet man auch als konvexe Deltoiden.

Sonderfälle

Eine besondere Form des Drachenvierecks, welches in der Regel kein Parallelogramm ist, ist die Raute. Die Raute hat vier gleich lange Seiten, ist ein Parallelogramm und bei ihr sind beide Diagonalen Symmetrieachsen. Man kann sich eine Raute analog zu unseren obigen Anschauungen als ein an der Basis gespiegeltes gleichschenkliges Dreieck vorstellen. Ist das gespiegelte Dreieck nicht nur gleichschenklig, sondern auch noch rechtwinklig, so erhalten wir durch die Spiegelung an der Hypotenuse ein Quadrat. Wir sehen also, dass ein Quadrat viele verschiedene Viereckformen erfüllt: es ist Rechteck, Parallelogramm, Raute, Deltoid (und sogar Trapez).

Eigenschaften

In einem beliebigen Deltoiden (Drachenviereck) stehen die beiden Diagonalen senkrecht aufeinander. Darüber hinaus wird die Diagonale, die nicht die Symmetrieachse darstellt, von der anderen Diagonalen halbiert. Wenn wir beim Bild mit den aneinandergelegten Dreiecken bleiben: die Diagonale, welche den aneinandergelegten Basen entspricht wird von der anderen Diagonalen halbiert. Weiter sind die Winkel in den Eckpunkten der Basis (bzw. der Diagonalen, die nicht Symmetrieachse ist) gleich groß und werden von der Diagonalen halbiert. Falls diese beiden Winkel jeweils 90° groß sind und wir einen konvexen Deltoiden betrachten, besitzt dieser einen Umkreis, also kann dann ein Kreis durch alle vier Eckpunkte des Vierecks gezeichnet werden. In einem konvexen Deltoiden gilt außerdem, dass auch ein Inkreis existiert, der jede der vier Seiten des Drachenvierecks in genau einem Punkt berührt. Also ist ein konvexer Deltoid ein Tangentenviereck.

Formeln

Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks ergibt sich aus dem Produkt der Längen der beiden Diagonalen, geteilt durch 2. Also |AC|*|BD|/2. Der Umfang eines Drachenvierecks ergibt sich aus der Summe der Längen der vier Seiten. Da jeweils 2 Seiten gleich lang sind (nehmen wir an |AB|=|AD| und |CD|=|CB|) ist der Umfang also 2*(|AB|+|CD|).