Die Winkelfunktionen sind rechnerische Zusammenhänge zwischen Seitenlängen bzw. Seitenverhältnissen und der Maßzahl eines Winkels. Neben der Anwendung in der Trigonometrie, einen Teilgebiet der Geometrie – zur Berechnung von Dreiecken – werden die Winkelfunktionen außerdem noch in der Beschreibung von harmonischen Vorgängen benutzt. Ein Beispiel für einen solchen Vorgang wäre eine harmonische Schwingung. 

Winkelfunktionen

Die Winkelfunktionen sind rechnerische Zusammenhänge zwischen Seitenlängen.

Die Anwendung der Winkelfunktionen in der Trigonometrie

Wie eingangs erwähnt, kann mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen ein Dreieck vollständig berechnet werden, wenn von diesem mindestens eine Seitenlänge und ein Winkel gegeben sind. Eine weitere Voraussetzung ist noch, dass das Dreieck zunächst rechtwinklig sein muss, also mindestens einen 90°-Winkel an einer Ecke des Dreiecks aufweisen muss.

Nun müssen noch drei Begriffe eingeführt werden:

  • Hypotenuse: Die Hypotenuse ist die Seite des rechtwinkligen Dreiecks, welche von dem 90° Winkel gegenüber liegt.
  • Gegenkathete: Die Gegenkathete wird immer auf einen Winkel bezogen angegeben. Die Gegenkathete zu einem Winkel ist also die Seite, die diesem gegenüberliegt.
  • Ankathete: Auch sie wird zu einem Winkel bezogen angegeben. Sie liegt dabei an dem jeweiligen Winkel an, deshalb auch Ankathete.

Mit Hilfe dieser Nomenklatur ist es nun ganz einfach möglich die jeweiligen Winkelfunktionen zu beschreiben und anzuwenden. Diese Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck sind die Sinus-, Cosinus– und Tangensfunktion. Definiert sind diese als:

  • sin(alpha) = (Gegenkathete von Alpha / Hypotenuse)
  • cos (alpha) = (Ankathete von Alpha / Hypotenuse)
  • tan (alpha) = (Gegenkathete von Alpha / Ankathete von Alpha)

Mit Hilfe dieser drei Winkelfunktionen ist es also leicht möglich ein Dreieck vollständig zu berechnen. Neben diesen Beziehungen für das rechtwinklige Dreieck, gibt es zusätzlich noch Berechnungsgleichungen für ein beliebiges Dreieck. Hierfür werden der Sinus- und Kosinussatz angewandt.

Der Sinussatz im beliebigen Dreieck

Dieser sagt, dass sich die Verhältnisse der Sinuswerte eines Winkels und seiner Gegenkathete immer gleich verhalten: Es gilt also:
Gegenkathete von alpha / sin(alpha)
= Gegenkathete von beta/ sin(beta)
= Gegenkathete von gamma/ sin(gamma)

Mit Hilfe dieser Beziehungen können so die fehlenden Winkel- und Seitenlängen von beliebigen Funktionen berechnet werden.

Der Kosinussatz im beliebigen Dreieck

Der Kosinussatz beschreibt eine Beziehung zwischen drei Seiten in einem beliebigen Dreieck und dem Kosinuswert einer der drei Winkel dieses Dreiecks.

Angewandt auf die drei Seiten eines beliebigen Dreiecks a, b, c und dem der Seite a gegenüberliegenden Winkel alpha, der zwischen den Seiten b und c liegt gilt also:

a² = b² + c² – 2bc*cos(alpha)

Der Kosinussatz für die anderen beiden Winkel kann entsprechend formuliert werden.