Unter dem Skalarprodukt versteht man eine mathematische Verbindung, die zwei Vektoren zu einer Zahl macht. Das Skalarprodukt wird in der analytischen Geometrie, sowie der linearen Algebra verwendet.
Im kartesischen Koordinatensystem gilt die folgende Gleichung:
Vektor a multipliziert mit Vektor b ergibt = a1*b1 + a2*b2 + a3b3
Die einzelnen Teile der Vektoren werden also multipliziert und anschließend addiert, sodass man eine Zahl erhält und nicht mehr die vorher vorhandene Vektorform.

Beispiel zur Berechnung im kartesischen Koordinatensystem

Vektor a= (4/5/3)
Vektor b= (1/2/9)
Hieraus ergeben sich für das Skalarprodukt a*b= 4*1 + 5*2 + 3*9=41
Die Berechnung ist also äußerst einfach und schnell erledigt.

Eigenschaften

Dank des Skalarproduktes lassen sich einige mathematische Eigenschaften ableiten. So gilt beispielsweise:

    • Vektor a* Vektor a= a², diese Gleichung gibt die Länge eines Vektors an
    • Sind die beiden Vektoren parallel gilt: Vektor a * Vektor b=ab
    • Sind die beiden Vektoren orthogonal (stehen in einem rechten Winkel zueinander), so gilt: Vektor a * Vektor b= 0
    • Es ist symmetrisch, es gilt also Vektor a * Vektor b= Vektor b * Vektor a

Darüberhinaus ist ein Skalarprodukt für drei Vektoren nicht definiert, das Assoziativgesetz ist also nicht anwendbar.

Anwendungen

Das Skalarprodukt wird vor allen Dingen dafür benutzt, um die Länge eines Vektors zu bestimmen. Hierfür muss man nur die einzelnen Koordinaten quadrieren, anschließend addieren und im Abschluss dann die Wurzel aus der Summe ziehen.
Beispiel
Vektor c= (1/4/-2)
Die Länge des Vektors beträgt also c= Wurzel aus 1²+4²+(-2)²= 21

Außerdem wird es dazu verwendet, um zu überprüfen, ob zwei Vektoren senkrecht zueinander sind, dies nennt man dann orthogonal. Hierbei muss in der Berechnung 0 herauskommen.
Beispiel
Vektor a= (2/5/7)
Vektor b= (4/4/-4)
Multipliziert man diese beiden Vektoren, so ergibt sich:
2*4+5*4+7*(-4)=8+20-28=0
Die Vektoren a und b sind also orthogonal zueinander.

Gerade im Mathematik Unterricht in der Schule ist das Skalarprodukt ein wichtiges Element, da sich so schnell überprüfen lässt, wie ein groß ein Winkel ist, oder ob sich 2 Geraden, die durch Vektoren definiert sind, senkrecht schneiden. Insgesamt meist im Zusammenhang mit Geometrie oder Algebra. Die Anwendungen hierfür sind unterschiedlich, so wird es beispielsweise dafür verwendet, um bestimmte Verpackungen zu konstruieren. Dies ist aber nur ein Beispiel, denn es gibt noch zahlreiche, weitere Beispiele für die praktische Verwendung.