Algebra ist wie die Geometrie, die Analysis, die Topologie oder die Logik, zu der auch die Mengenlehre gehört ein Teilgebiet der Mathematik. Mit Hilfe von Gleichungen und Gleichungssystemen sollen allgemeine Gesetzmäßigkeiten formuliert werden. Dadurch werden mathematische Probleme allgemeingültig lösbar.

Die Entstehung der Algebra.

Lineare Gleichungen wurden schon von den Ägyptern und Babyloniern aufgestellt und gelöst. Die Griechen verwenden zur Lösung von Gleichungssystemen Symbole für die Rechenoperationen.
Der griechische Philosoph Diophant von Alexandria beschreibt in seinem 13bändigen Werk Arithmetica erstmals algebraische Methoden. Im Frühmittelalter entwickelt Al-Khwarizmi Methoden, um quadratische Gleichungen zu lösen. Cardano entwickelt in der Renaissance Methoden, um Gleichungen dritten Grades zu lösen. Vieta verwendet erstmals Buchstaben als Variable in den Gleichungen. In den folgenden Jahrhunderten wird das System der Algebra von Napier, Descartes und Gauss weiter ausgebaut. Gauss beweist, dass jede Gleichung nten Grades n Lösungen hat. 1824 beginnt mit Evariste Galois die moderne Algebra.

Klassische und moderne Algebra.

Die klassische Algebra dominierte bis ins 19. Jahrhundert. Ihre Aufgabe war es algebraische Gleichungen auf ihre Lösungsmöglichkeiten zu untersuchen. Die Aussagen Gauss über die Lösungsmöglichkeiten von nten Gleichungen und der Beweis Abiels, dass die Polynomgleichungen ab dem fünften Grad keine Lösungsformeln gibt, gehören zu den fundamentalen Erkenntnissen der klassischen Algebra.
Mit der Galoistheorie entwickelte sie sich zur Gruppen- und Ringtheorie, die ein elementares Gebiet der modernen Algebra sind. So konnte bewiesen werden, dass Gleichungen ab dem vierten Grad nicht durch Radikale zu lösen sind.

Praktische Anwendungsgebiete der Algebra.

Das derzeit wichtigste Gebiet, in der die Anwendung erfolgt ist die Kryptografie und die Codierungstheorie. Die Codierungstheorie erstellt Algorithmen, die auf Sicherheit überprüft werden. Hier ist die algebraische Geometrie notwendig.

CD´s oder Scheckkarten erhalten ihre Daten codiert. Die Daten müssen dabei auf Fehler überprüft werden. Bei einem Strichcodeleser an der Kasse heißt das, dass bei einer Falschlesung nicht der falsche Preis angegeben wird, sondern eine Fehlermeldung erscheint. Die codierten Daten müssen dann mit Geräten abgefragt werden, um hörbare Musik bei einer CD wahrnehmen zu können.
Eine weitere praktische Anwendung liegt im Gebiet der Computeralgebra. Sie will exakte algebraische Methoden als Algorithmen formulieren und sie auf einem Computer einsetzen. Dabei steht der Umgang mit algebraischen Strukturen wie Gruppen und Ringen im Mittelpunkt.
Die algebraische Geometrie mit Vektoren, Skalarprodukten und Koordinatensystem findet bei Naturwissenschaftlern und Ingenieure Anwendung. Mit Hilfe der Geometrie kann in der Planungsphase zum Beispiel erkannt werden, ob ein Hausbau stabil ist.