Die Punkte, Linien, Flächen und Volumen der geometrischen Lehre weisen eine elementare Anforderung auf: Sie sind genau. Was genau ist aber die Geometrie? Über Koordinatensysteme, Zirkelzüge, rechte Winkel und Vektoren spannt sich ein mathematisches Teilgebiet auf, welches der Vermessung der Welt eine wissenschaftliche Grundlage bietet. Neben der analytischen Geometrie, welche in der Schule unterrichtet wird, reichen die theoretischen Fundamente der synthetischen, diskreten oder algorithmischen Geometrie in Tiefen, für die ein Nichtmathematiker keinen Maßstab mehr findet.

Dementsprechend spricht die exakte Definition in der Mathematik explizit von der anschaulichen geometrischen Lehre, welche sich mit der Konstruktion von Ebenen und dreidimensionalen Räumen beschäftigt sowie auch die Wissenschaft, welche sich der Methodik und Systematik von geometrischen Axiomen widmet. Die sogenannte Elementargeometrie, welche an Schulen einen allgemeinen Unterrichtsbestandteil darstellt, geht auf den griechischen Mathematiker Euklid von Alexandria zurück, der vor über 2000 Jahren die ersten Axiome zu Punkten, Linien und Geraden aufgestellt hatte. Sein Werk „Die Elemente“ folgt einem strengen deduktiven Ansatz und konstruiert die Geometrie auf Grundlage von Definitionen, Postulaten und logischen Axiomen. Beispielsweise beschreibt er eine Linie als eine breitenlose Länge und argumentiert, dass man von jedem Punkt aus eine Strecke zu einem anderen Punkt ziehen könnte.

In Anbetracht des heutigen Wissenstands ist die euklidische Geometrie jedoch nicht mehr als axiomatische Theorie zulässig und wurde in zahlreichen Aspekten widerlegt. Aus Gründen der Anschaulichkeit wird die Elementargeometrie jedoch noch immer als Modell angewandt, um das Rechnen mit Koordinatensystemen, Vektoren, Skalarprodukten und in der Algebra zu vereinfachen. Diese sogenannte analytische Geometrie beschäftigt sich vorwiegend mit der rechnerischen Lösung von geometrischen Sachverhalten, ohne diese grafisch entwickeln zu müssen. Allerdings folgt die Konvertierung der Vektoren in Linien, Objekte und Räume anhand festgeschriebener Gesetze, welche grafische Darstellungen bis in den dreidimensionalen Raum unterstützen. Ursprünglich beschränkte sich die analytische Geometrie auf den euklidischen Raum, in einem Ingenieurstudium, den Naturwissenschaften oder den Wirtschaftswissenschaften wird diese jedoch auf den affinen Raum höherer Dimensionen erweitert.

Die reine Mathematik kennt darüber hinaus eine Vielfalt an Konzepten, Theorien und Modellen. Den größten Bezug zu dem altehrwürdigen griechischen Mathematiker nimmt dabei die nichteuklidische Geometrie, welche das ursprüngliche Parallelenaxiom berichtigt. Der ungarische Mathematiker János Bolyai entwickelte im Jahre 1830 die absolute Geometrie, welche beide Modelle in Übereinstimmung bringt. Viele weitere Theoretiker der Moderne trugen daraufhin dazu bei, die geometrischen Axiome mit Teilgebieten der tieferen Mathematik zu verweben. Besonders im Rahmen der digitalen Revolution nähert sich die algorithmische Geometrie stark der Informatik, welche sich mit der Speicherung und Verarbeitung von geometrischen Daten beschäftigt. So ist die geometrische Lehre zu einem Werkzeug geworden, um in der Unendlichkeit Wege und Räume zu konstruieren.