Die Surjektivität ist eine mathematische Eigenschaft einer Funktion. Eine Funktion in genau dann surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge, mindestens einmal als Funktionswert angenommen werden kann. Damit kann, durch die Surjektivität einer Funktion, diese nicht mehr injektiv sein, denn eine Funktion ist dann injektiv, wenn jedes Element aus der Zielmenge, höchstens einmal als Funktionswert abgebildet werden kann.

Im Bezug auf die eigene Bildmenge einer Funktion, ist eine Surjektivität natürlich immer gegeben. Dies bedeutet wiederum, dass eine Funktion, deren Urbildmenge kleiner ist, als die Zielmenge definitiv nicht surjektiv sein kann, da die Punkte der Urbildmenge nur so viele Funktionswerte der Zielmenge abdecken können, wie Punkte vorhanden sind. In diesem Fall muss sie Surjektivität jedoch nicht gegeben sein. Diese Grundvoraussetzung muss gegeben sein, dass eine Funktion überhaupt surjektiv sein kann.

Eigenschaften einer surjektiven Funktion

Eine Funktion, die eine Surjektivität besitzt ist, hat verschiedene Eigenschaften. Die Surjektivität einer Funktion hängt in diesem Fall nicht nur von ihrem entsprechenden Funktionsgraphen ab, sondern sie ist auch abhängig von der Zielmenge dieser Funktion. Eine Funktion, die surjektiv ist, kann nicht injektiv sein, denn bei injektiven Funktionen ist es möglich, dass die Zielmenge mehr Elemente enthält, als die Urbildmenge. Ist eine Funktion injektiv und surjektiv, so gilt diese Funktion als bijektiv.

Beispiele der Surjektivität anhand der e-Funktion

Betrachtet man eine Funktion f: R -> R, f(x):=e^x, so lässt sich feststellen, dass diese Funktion nicht surjektiv, aber injektiv ist. Wenn man den dazugehörigen Graphen der Funktion betrachtet, fällt ziemlich schnell auf, warum diese Funktion nicht surjektiv ist. Die Exponentialfunktion nimmt nur positive Funktionswerte an. Daraus folgt, dass die negativen Werte kein Urbild haben und somit ist keine Surjektivität gegeben.
Ändert man nun den Definitionsbereich wie folgt: f: R -> R+, f(x)=e^x, ist die Surjektivität wiederum gegeben, da nur der positive Wertebereich betrachtet wird.