Eine Vorschrift f: X -> Y , die jedem x ? X genau ein y ? Y zuordnet, nennt man FUNKTION.
Beispiele:
f(x) := 2x²- x + 5
f(x) := sin(x) + cos(3x)
Man unterscheidet zwischen injektiven, surjektiven und bijektiven Funktionen.

Definitionen und Beispiele:

Eine Funktion f: X -> Y heißt INJEKTIV,
wenn für alle x, x´ ? X gilt:
f(x) = f(x´) => x = x´
oder anders formuliert:
für jedes y ? Y existiert höchstens ein x ? X mit f(x) = y
Der Graph einer solchen Funktion durchläuft demnach jeden Wert der Y-Achse nur maximal einmal.
Beispiele injektiver Funktionen f: R -> R :
f(x) := x
f(x) := 2x-1
f(x) := x³
f(x) := exp(x)
Gegen – Beispiele
folgende Funktionen g: R -> R sind NICHT injektiv:
g(x) := 1 (denn: g(1) = 1 = g(2) )
g(x) := x² (denn: (-2)² = 4 = 2² )
g(x) := sin(x) (denn: sin(0) = 0 = sin(?) )
g(x) := |x| (denn: |-1| = 1 = |1|)

Eine Funktion h: X -> Y heißt SURJEKTIV,
wenn es für jedes y ? Y (mindestens) ein x ? X gibt mit h(x) = y.
Beispiele surjektiver Abbildungen:
h: R -> R, h(x) := x
h: R -> R+, h(x) := x²
h: R -> [-1; 1], h(x) := sin(x)
h: R -> R, h(x) := x³

Ist eine Abbildung sowohl injektiv, als auch surjektiv, wird sie BIJEKTIV genannt. Solch eine Funktion bildet demnach jedes x ? X auf genau ein y ? Y ab.
Beispiele für bijektive Funktionen b: R -> R :
b(x) := x
b(x) := 3x + 1
b(x) := x³
b*: R+ -> R+, b*(x) := x²

Beispiele für besondere Eigenschaften injektiver Abbildungen:

Injektionen sind stets invertierbar, d.h.:
Für jede injektive Abbildung f: X -> Y lässt sich lässt sich eine eindeutige Umkehrfunktion f^[-1]: Y -> X darstellen, da es für jedes y ? f(X) genau ein einziges x ? X gibt, so dass f(x) = y.

Graphisch lässt sich die Umkehrfunktion einer Injektion ohne weitere Berechnungen sehr schnell und einfach darstellen, indem man lediglich den Funktions-Graphen an der steigenden Diagonalen des Koordinatensystems d: R -> R, d(x) = x spiegelt.

Aus jeder Injektion f: X -> Y lässt sich durch Ersetzen der Menge Y durch den Wertebereich f(X) leicht eine Bijektion erstellen.

Dieser Sachverhalt kann genutzt werden, um Vergleiche zwischen Mengen anzustellen: Ist eine Funktion zwischen zwei Mengen bijektiv, so zeigt das, dass diese gleichmächtig (also von gleicher „Größe“) sein müssen.