Der Begriff „bijektiv“ wird in der Mathematik verwendet. Hier bildet er eine wichtige Eigenschaft von Funktionen, aber auch von Abbildungen in der Mengenlehre. Die Mengenlehre ist das grundlegende Teilgebiet der Mathematik.

Bijektiv

Wenn der Bereich der Definitionsmenge gleich dem Bereich der Zielmenge ist, ist eine Funktion bijektiv.

Wann ist eine Funktion bijektiv?

Eine Funktion ist dann eine Bijektion, wenn eine vollständige Paarbildung stattfindet. Das bedeutet also, wenn der Bereich der Definitionsmenge gleich dem Bereich der Zielmenge ist, ist eine Funktion bijektiv. Anders formuliert bedeutet es, dass bijektive Funktionen ihren Definitionsbereich und ihren Wertebereich gleichbehandeln, sie besitzen also dieselbe Mächtigkeit.

Eine Bijektion einer Funktion auf sich selbst wird auch als Permutation bezeichnet.

Definition

Seien X und Y Mengen. f sei eine Funktion bzw. eine Abbildung, welchen von X nach Y abbildet. Das bedeutet also: f:X -> Y (X bildet Y ab). Somit ist diese Funktion eine Bijektion. Dies ist jedoch nur der Fall, wenn für alle y Element aus Y genau ein x Element aus X existiert. Ansonsten wird die Funktion auch als „nicht bijektiv“ bezeichnet.

Die Funktion f ist nur dann bijektiv, wenn f sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Injektiv bedeutet, dass kein Wert aus der sogenannten Bildmenge mehrfach angenommen werden darf. Die Bildmenge beschreibt hierbei die Teilmenge der Werte aus der Definitionsmenge, die die Zielmenge tatsächlich annehmen. Das Urbild jedes Elements der Bildmenge f(x) besteht also aus genau einem Element von X.

Surjektiv bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge Y angenommen wird. Mit anderen Worten bedeutet dies soviel wie: Die Zielmenge Y und die Bildmenge f(X) stimmen überein. Mit einer Funktion ausgedrückt würde das dann soviel wie f(X) = Y bedeuten.

Eigenschaften von bijektiven Funktionen

Sind A und B endliche Mengen mit derselben Anzahl von Elementen und f: A -> B eine Funktion ist, dann gilt, dass wenn f injektiv ist, j bereits bijektiv ist. Außerdem gilt dasselbe für Surjektivität von f, also wenn f surjektiv ist, dann ist f auch schon bijektiv.

Unendliche Mengen können injektiv auf echte Teilmengen abgebildet werden. Es gibt auch surjektive Abbildungen von unendlichen Mengen auch sich selbst, welche keine Bijektionen sind.

Grafische Darstellung

Die grafische Darstellung einer bijektiven Funktion kann leicht veranschaulicht oder in textliche Form gebracht werden. Vorzustellen sind 2 Mengen, also große Kreise, welche mehrere Ringe beinhalten. Diese sollen die einzelnen Elemente der Mengen darstellen. Die Bijektivität kann veranschaulicht werden, in dem sich von jedem Element aus der Definitionsmenge genau ein Pfeil auf ein Element in die Zielmenge erstreckt.