Injektivität oder auch Linkseindeutigkeit ist ein Begriff aus der Mathematik und bezeichnet die Eigenschaften von Funktionen oder mathematischer Ringe. Er wird in der Ringtheorie verwendet, bei welcher der Begriff Ringe nicht eine ringförmige Struktur, sondern einen organisierten Zusammenschluss von Elementen zu einem Ganzen bezeichnet (Beispiel aus dem Sprachgebrauch: Verbrecherringe).

Allgemein definiert heißt injektiv, dass jedes Element in der Zielmenge Y höchstens einmal als Funktionswert eines der Elemente aus der Definitionsmenge X angegeben wird. Es ist also nicht möglich zwei verschiedene Elemente aus der Definitionsmenge auf dasselbe Element in der Zielmenge abzubilden. Jedoch kann ein Element in der Zielmenge auch null (also keinen) Elementen aus der Definitionsmenge zugeordnet sein.

Algebraische Strukturen, welcher Definitionsmengen und die Zielmengen angehören, bilden unter gewissen Prämissen mathematische Ringe. Bijektivität (umkehrbar eindeutig) unterscheidet sich von der Injektivität dahingehend, dass jedes Element der Zielmenge Y genau einem Element der Definitionsmenge X zugeordnet wird, es wird also jedes Element der Zielmenge angenommen, damit stimmen beide Mengen überein.

Surjektivität, auch Rechtseindeutigkeit, bedeutet, dass jedes Element aus der Zielmenge Y mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird. Das heißt, es kann ein Element der Zielmenge auch mehrfach als Funktionswert der Definitionsmenge angegeben werden.

Darstellungs- und Erklärungsformen

Häufig werden Ringe und die drei vorgestellten Begriffe anhand von Mengenkreisen visuell dargestellt. Ein Kreis symbolisiert die Definitionsmenge X, der andere die Zielmenge Y. Um die drei Begriffe zu erklären bedienen wir uns eines Beispiels: Angenommen man hat in einer Disko die gleiche Menge an männersuchenden Frauen (F) und frauensuchenden Männern (M). Eine weitere Prämisse ist, dass nur ein Partner pro Person gewählt wird. Wenn also jede Frau genau einen Mann wählt, ist der Abend für die Frauen bijektiv.

Falls jedoch nur bestimmte Männer von Frauen gewählt werden und so letztendlich einige von ihnen ohne Partnerin bleiben, handelt es sich um einen injektiven Abend, bei diesem Beispiel kann auch ein Überschuss an Männern vorhanden sein. Für den letzten Begriff muss die Prämisse, dass sich jede Frau nur einen Mann sucht entfernt werden, darüber hinaus ist es zudem möglich, dass es mehr Frauen in der Disko gibt als Männer.

Mathematischer Ringe

Mithilfe der erwähnten Mengenkreise lassen sich allgemein Ringe und das vorgestellte Beispiel gut visualisieren.

Wenn also die Frauen willens sind, mindestens mit einem oder mehreren Männern den Abend zu verbringen und kein Mann leer ausgeht, dann ist der Abend surjektiv. In diesem Beispiel stellt die Menge F die Definitionsmenge und die Menge M die Zielmenge dar. Mithilfe der erwähnten Mengenkreise lassen sich allgemein Ringe und das vorgestellte Beispiel gut visualisieren.