Eine mathematische Funktion ist dann injektiv, wenn jedes Element des Urbildes der Funktion, maximal ein einziges Mal in der Zielmenge, als eigenständiger Funktionswert, angenommen werden kann. Daraus folgt, dass es keine zwei Elemente aus dem Urbild einer Funktion geben darf, die den selben Funktionswert abbilden. Wenn dieser Fall doch eintreten sollte, ist eine Funktion surjektiv. Die Definitionsmenge einer Funktion, lässt sich auch als mathematischer Ring beschreiben.

Der Unterschied zu einer bijektiven Funktion ist, dass bei einer injektiven Funktion die Bildmenge kleiner sein kann, als die Zielmenge. Bei einer bijektiven Funktion, müssen die Bildmenge und die Zielmenge genau gleich groß sein. Der Unterschied zu einer surjektiven Funktion liegt darin, dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen werden kann.

Eigenschaften einer injektiven Funktion

Eine Funktion, die als injektiv bezeichnet werden kann, besitzt viele verschiedene Eigenschaften. Beispielsweise ist eine reelle Funktion, mit einem reellen Intervall, dann injektiv, wenn diese Funktion in ihrem Definitionsbereich entweder streng monoton fallend oder streng monoton steigend ist. Die Injektivität einer Funktion, hängt nur von ihrem dazugehörigen Graphen ab. Eine injektive Funktion, kann auch gleichzeitig surjektiv sein. Jedoch kann eine injektive Funktion niemals bijektiv sein.

Beispiele der Injektivität

Eine lineare Funktion f1(x)=x ist injektiv, im Bezug auf den Definitionsbereich aller rationalen Zahlen. Eine quadratische Funktion f2(x)=x^2 ist nicht injektiv, im Bezug auf den Definitionsbereich aller rationalen Zahlen. In diesem Fall wird jedem Wert=x der selbst Funktionswert, wie dem Wert -x zugeordnet, also gibt es mehrere Elemente, die den selben Funktionswert im Zielbereich zugeordnet bekommen. Schränkt man den Definitionsbereich der zweiten Funktion ein, so dass dieser nur noch von 0 bis unendlich reicht, wäre die Funktion wiederum injektiv, da es keine Werte im negativen Bereich gibt und es so wieder nur ein Element gibt, dass auf einen bestimmten Funktionswert im Zielbereich zugeordnet wird. Daraus lässt sich schließen, dass die Injektivität nicht nur von der Funktion selbst abhängt, sondern auch vom jeweiligen Definitionsbereich abhängig ist.