Sowohl die Differentialrechnung als auch die Integralrechnung sind Mittel zum Analysieren von Funktionen. Beide Methoden werden oft in einem Atemzug genannt, da ihnen ganz ähnliche Ansätze zugrunde liegen. Dennoch hat jede Methode ihre Eigenheiten.

Anwendungsgebiete für Integralrechnung und Differentialrechnung

Die Methoden der Integral- und Differentialrechnung entstanden aus dem Wunsch bzw. der Notwendigkeit, Flächen auch dann berechnen zu können, wenn ihre Grenzen nicht gradlinig sind, ohne für jede geometrische Figur ein neues Lösungsverfahren entwickeln zu müssen.

Gottfried Wilhelm Leibniz, der deutsche Wissenschaftler und Mathematiker, war einer der ersten, die auf die Idee kamen, Flächen, welche durch eine Funktion beschrieben sind und eine krummlinig verlaufende Begrenzung haben, durch Bildung und Addition möglichst kleiner Rechtecke am Grenzverlauf annähernd zu bestimmen. Je kleiner die Rechtecke dabei werden, umso mehr nähert man sich dem tatsächlichen Verlauf der Begrenzung an und somit konnte man schon im 17. Jahrhundert mit der Integral- und Differentialrechnung jede Fläche mit einer Genauigkeit berechnen, die für praktische Anwendungsgebiete ausreichend war. Um sich dem richtigen Ergebnis möglichst stark anzunähern, ist es das Ziel, die zu addierenden Rechtecke mit möglichst geringer Größe zu bestimmen, sie also verschwindend klein (infinitesimal) zu setzen. Daher werden die Integral- und Differentialrechnung auch unter dem Begriff Infinitesimalrechnung zusammengefasst und finden unter Anderem bei folgenden Fragestellungen Anwendung:

  • Berechnung von Volumina geometrischer Objekte
  • Bestimmung von Mittelwerten
  • Berechnung der Längen von Kurven

Integralrechnung im Detail

Die Berechnung von Flächen ist am einfachsten, wenn eine Fläche rechteckig ist. Hier werden Seitenlängen multipliziert, um ein richtiges Ergebnis zu erhalten. Andere geometrische Figuren mit gradlinigen Begrenzungen, wie Dreiecke oder Trapeze, lassen sich durch theoretische Begrenzung oder Erweiterung der Fläche ähnlich leicht berechen. Wenn die Fläche aber nicht mehr durch eine grade Linie, sondern zum Beispiel durch eine Kurve begrenzt wird, ist es notwendig die Integralrechnung anzuwenden, um ein Ergebnis zu berechnen.

In der Analysis nennt man die Fläche unter einer Kurve, die durch eine Funktion beschrieben wird, Integral. Daher auch der Begriff Integralrechnung. Bei Anwendung der Integralrechnung geht es darum, die Fläche eines Integrals, welches zusätzlich zu der x-Achse und dem Kurvenabschnitt noch durch zwei Parallelen zur y-Achse begrenzt wird, dadurch zu bestimmen, dass man es durch gleich breite Rechtecke ausfüllt, deren Größen ja einfach zu berechnen und zu summieren sind. Da die Fläche aufgrund der ungerade verlaufenden Begrenzung durch die Kurve nicht präzise mit Rechtecken ausgefüllt werden kann, ist das Ergebnis nur annähernd korrekt. Je mehr Rechtecke man verwendet, welche immer dünner werden, umso mehr nähert man sich der Lösung an. Die Fläche des Integrals ist also durch die Summe der Flächen unendlich vieler unendlich dünner Rechtecke zu bestimmen.

Differentialrechnung im Detail

Mit Differentialrechnung ermittelt man die Steigung eines Punktes auf einer Kurve

Mit Differentialrechnung ermittelt man die Steigung eines Punktes auf einer Kurve

In der Analysis ist es oft Ziel, die Steigung eines Graphens, der durch eine Funktion bestimmt wird, zu berechnen. Ist dieser Graph eine Gerade, so kann die Steigung relativ leicht z. B. anhand eines Steigungsdreiecks berechnet werden. Bei einer Kurve ist dies nicht möglich, da die Steigung in jedem Punkt des Graphen einen anderen Wert haben kann. Hier kommt die Differentialrechnung ins Spiel.

Um die Steigung in einem dieser Punkte, im Punk P, zu bestimmen, bedient man sich der Methode der Differentialrechnung. Hierfür wird ein zweiter Punkt bestimmt und durch eine Gerade mit dem Punkt P verbunden. Diese Gerade, die Sekante genannt wird, hat eine bestimmte Steigung, welche ungleich der Steigung der Kurve in dem vorher bestimmten Punkt P ist. Die Sekante schneidet die Kurve in den beiden Punkten. Wenn sich die Position des zweiten Punktes dem Punk P annähert, verändert sich die Steigung der Sekante dementsprechend. Bei unendlicher Annäherung schneidet sie die Kurve nicht mehr, sondern berührt sie nur noch im Punkt P. Die Steigung dieser Tangente ist demnach die Steigung der Kurve im Punkt P, beziehungsweise die Ableitung der zugrunde liegenden Funktion.

Fazit

Integral- und Differentialrechnung beschäftigen sich mit der gleichen Problematik, eignen sich dabei aber für verschiedene Operationen. Während die Integralrechnung zur Berechnung von Flächen mit krummlinigen Begrenzungen verwendet wird, eignet sich sie Differentialrechnung zum Ableiten von Funktionen und damit zum Berechnen von Steigungen, Wendepunkten und Extremstellen von Kurven.