Mittels der Substitutionsregel können viele Integrale gelöst werden. Integration durch Substitution bedeutet, dass die Variable durch eine andere Variable ersetzt wird. Das Ziel ist hierbei, mittels dieser anderen Variablen ein Integral zu erhalten, das sich mit bekannten Integrationsmethoden lösen lässt.

Integration durch Substitution – ein Beispiel

Am besten lässt sich die Integration durch Substitution an einem Beispiel veranschaulichen:

Es sei folgendes Integral gegeben:

?(3x+4)²dx

Wenn man den Ausdruck in der Klammer durch eine neue Variable ersetzt, so erhält man ein Integral, das sich lösen lässt. Man setzt:

y=3x+4

Die Variable x wird also entsprechend dieser Vorschrift durch die Variable y ersetzt. Wenn man in dem Integral entsprechend ersetzt, ergibt sich:

?y²dx

Als Variable taucht nun y in dem Integral auf, aber es steht trotzdem noch ein dx in dem Integral. Damit das Integral berechnet werden kann, muss zunächst das dx noch durch einen Ausdruck mit dy ersetzt werden. Um diese Ersetzungsvorschrift zu erhalten, kann man die Funktion, entsprechend derer man ersetzt, nach der ursprünglichen Variablen ableiten:

f(x) = y = 3x+4

f'(x) = dy/dx = 3

dx kann nun durch dy ausgedrückt werden:

dy/dx = 3 |*dx
dy = 3dx | /3
1/3dy = dx

Entsprechend dieser Vorschrift kann in dem Integral das dx nun durch dy ersetzt warden, somit ergibt sich:

?y²1/3dy

Dieses Integral kann nun gelöst werden.

?y²1/3dy = 1/3*?y²dy = 1/3*1/3 y³ +c = 1/9 y³ +c

Nachdem das Integral gelöst wurde, muss die Integration durch Substitution wieder rückgängig gemacht warden. Hierzu setzt man für y einfach wieder den Term, der zuvor ersetzt wurde, ein:

= 1/9 (3x+4)³+c

Integration durch Substitution – Weiterverfahren

Wenn ein bestimmtes Integral zu berechnen ist, kann genauso wie zuvor verfahren werden. Das heißt es wird zunächst das unbestimmte Integral mittels Substitution berechnet. Erst nachdem die Substitution wieder rückgängig gemacht wurde, werden die alten Grenzen in die Stammfunktion, die sich als Lösung ergeben hat, eingesetzt. Es gibt in diesem Fall zwar auch die Möglichkeit, die Grenzen zu substituieren und stattdessen die ursprüngliche Substitution nicht wieder rückgängig zu machen, aber es dürfte leichter sein, sich an das vorherige Verfahren zu halten.

In dem Beispiel zur Integration durch Substitution wurde über x integriert und als neue Variable y eingeführt. Natürlich kommt diesen Bezeichnungen keine inhaltliche Bedeutung zu. Gebräuchlich ist zum Beispiel auch für die Integration durch Substitution z oder auch g(x) zu schreiben.