Bei der Integration von Funktionen, also dem Herausfinden einer Stammfunktion, gibt es in der Mathematik diverse Regeln und Abkürzungen – einige Aufleitungen werden schlicht auswendig gelernt, andere lassen sich über Exponentenregeln einfach merken. Wenn aber in der zu integrierenden Funktion die Integrationsvariable, z. B. „x“, zweimal in einer Produktkette auftaucht, kommt man mit den herkömmlichen Integrationsmethoden nicht weiter – hier hilft die partielle Integration (auch oft Produktintegration genannt) aus.

Partielle Integration: Beispiele für die Anwendung

Um die partielle Integration besser erläutern zu können, wird ein Beispiel vorgestellt: Gegeben ist eine Funktion f mit der Vorschrift: f(x) = x * sin(x)
Durch die Multiplikation kann man die Faktoren – anders als bei einer Summe – nicht einzeln aufleiten, stattdessen muss die Produktregel der Ableitung rückwärts angewendet werden – dies ist die partielle Integration.
Dabei werden den beiden Faktoren zunächst zwei Buchstaben u und v‘ zugeteilt – im vorliegenden Beispiel ist x also u‘ und sin(x) ist v. u‘ sollte dabei der Term sein, der bei einer Ableitung konstant werden kann – weshalb das so sein muss, wird im Folgenden erläutert:

Die grundsätzliche Form der partiellen Integration lautet:
F(x) = ? f(x) dx = ? u * v‘ = [ u * v ] – ? u‘ * v
Hierbei sind ? uneigentliche Integrale – als Grenzen können also einfach a und b angenommen werden, sie stehen symbolisch für das positive und negative Unendliche. Hier wird auch klar, warum für die partielle Integration u der Term sein sollte, der bei der Ableitung konstant wird: Im letzten Integral wird u abgeleitet.
Hat man also die beiden Faktoren der Funktion durch u und v‘ ersetzt, kann man obige Formel einfach auf das Beispiel anwenden:
F(x) = ? x * sin(x) = [ x * (-cos(x)) ] – ? 2 * (-cos(x))
Dann muss das letzte Integral auf der rechten Seite lediglich nochmals integriert werden:
F(x) = [ -x * cos(x) ] – [ -2 * sin(x) ] = [ -x * cos(x) + 2 * sin(x) ]
In den eckigen Klammern finden wir nun die über die partielle Integration erreichte Stammfunktion F(x) zur Ausgangsfunktion f(x).

Partielle Integration als Lösung häufiger Integrationsprobleme

Die partielle Integration ist zwar keine ganz einfache Regel, hilft in der Praxis aber bei der Aufleitung von Produktfunktionen enorm weiter. In der Tat ist sie die einfachste Möglichkeit, solche Funktionen mit verhältnismäßig geringem Aufwand zu integrieren. Somit gehört sie in die „Werkzeugtasche“ jedes Mathematikers, der sich ein wenig mit analytischen Problemen beschäftigt.