Das Lösen einer Integralrechnung durch Stammfunktionen stellt den formal-mathematischen Lösungsweg für eine jede Integralrechnung dar. Sie kommt dabei prinzipiell ohne einen Grafiktaschenrechner oder andere algebraisch verfahrende Systeme aus und kann die Lösung rein auf dem Papier ermitteln.

Lösen einer Integralrechnung mit Stammfunktionen

Generell stellt die Ermittlung einer Stammfunktion (formal: F(x)) die Umkehroperation der Differenzialrechnung dar. D. h., die vorgegebene Funktion f(x) wird nicht als eine Funktion betrachtet, zu der die erste Ableitung f(x) ermittelt werden soll, sondern die vorgegebene Funktion f(x) wird quasi schon als erste Ableitung einer Stammfunktion F(x) angesehen. Die Integralrechnung mit Stammfunktionen fragt so, wie F(x) beschaffen sein müsste, damit f(x) als erste Ableitung von F(x) betrachtet werden kann.
Die Rechenregeln zum Lösen einer Integralrechnung durch Stammfunktionen ergeben sich damit auch als Umkehrung der bestehenden Differenzialrechnungsregeln:

Dabei gibt es u. a. folgende Beispiele:

  • Integrieren von Quadratfunktionen: f(x)=ax^2 => F(x)=(a/3)*(x^3)+c
  • Integrieren von Summen und Differenzen: Plus- und Minusoperatoren bleiben nach der Integration erhalten und die einzelnen Summanden bzw. Minuenden und Subtrahenten werden integriert.

Durch diese Regeln werden zunächst die unbestimmten Integrale gebildet. D.h., die Stammfunktionen werden in ihrem letzten Glied um einen zu addierenden Parameter ergänzt (formal: +c). Dieser Sachverhalt liegt darin begründet, dass es zu einer Ableitung unendlich viele Stammfunktionen geben kann, da bei der Differenzierung der Stammfunktion als Umkehrfunktion des Integrierens das letzte, rein numerische Glied verschwindet und einen beliebigen Wert annehmen könnte. (Grund: Die Ableitung einer Zahl ist stets null.)

Das bestimmte Integral

Das Lösen einer Integralrechnung durch Stammfunktionen endet jedoch erst vollständig mit der Berechnung eines bestimmten Integrals, welches den Flächeninhalt unter einer Kurve innerhalb eines vorgegebenen Intervalls [a;b] bezeichnet. Dabei werden in die Stammfunktion für die Variable x die Werte a und b eingesetzt. Aus dem unbestimmten wird ein bestimmtes Integral (F(x) => F(a) bzw. F(b)). Wird nun der Wert des oberen Integrals F(b) von dem Wert des unteren Integrals F(a) abgezogen, ergibt sich der Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse in diesem Intervall. Die Integralrechnung durch Stammfunktionen ist damit abgeschlossen.