Allgemein gesehen bezeichnet eine Implikation die Einbeziehung einer Sache in eine andere. Der Begriff Implikation findet auch Anwendung in der Aussagenlogik, wo zwei Aussagen mittels des aussagenlogischen Operators (Junktor) verknüpft werden.

Die objektsprachliche/materielle Implikation

Bei einer Implikation wird eine Sache oder Aussage mit einer anderen verknüpft

Bei einer Implikation wird eine Sache oder Aussage mit einer anderen verknüpft

Bei objektsprachlichen/materiellen Implikationen werden 2 Aussagen durch die Wortkombination „wenn…, dann…“ miteinander verbunden. Kurz würde man einfach sagen: „Wenn a, dann b.“ Umgangssprachlich ist das nur schwer darzustellen, da Wortkombinationen mit „wenn…dann…“ im Deutschen eine umfassendere Bedeutung haben können und auch nicht in jedem Fall absolute Aussagen darstellen.

Ein Beispiel

Eine mögliche Aussage wäre z. B.: „Wenn der Wecker klingelt, erwachen die Schlafenden!“ Bei diesen 2 Aussagen wird das Erwachen der Schlafenden vom Klingeln des Weckers abhängig gemacht. Wenn man es jetzt aber ganz genau nehmen würde, dann könnte es auch passieren, dass einige der Schlafenden das Klingeln des Weckers einfach überhören und einfach weiter schlafen. Man muss also sehr genau unterscheiden, ob es sich um einen rein sprachlichen Gebrauch von „wenn…, dann…“ handelt oder um eine „absolute Wahrheit“ in der Form von „wenn a, dann b“.

Metasprachlicher Gebrauch

Wird eine Aussage über andere mehrere Aussagen gemacht, so spricht man von einer metasprachlichen Implikation. Z. B. Könnte man sagen: „Regelmäßiger Konsum von Alkohol könnte zu Konzentrationsverlust und anderen gesundheitlichen Problemen führen.“ Hierbei wird kein direkter Zusammenhang zwischen beiden Aussagen hergestellt, da regelmäßiger Alkoholkonsum (in kleinen Mengen) sich auch gesundheitlich fördernd (z. B. bei Magenproblemen) auswirken kann.

Der Gebrauch in der Aussagelogik

In der Aussagenlogik geht es um die Ermittlung des Wahrheitswertes zweier Aussagen. Die linksseitige Aussage wird als Prämisse und die rechtsseitige als Konklusion bezeichnet. Beide Aussagen werden durch den Junktor verknüpft. In einer Tabelle kann man das folgendermaßen darstellen:

Implikation Ergebnis

  • wahr ? wahr wahr
  • wahr ? falsch falsch
  • falsch ? wahr wahr
  • falsch ? falsch wahr

Sprachlich würde man auch das durch „wenn…, dann…“ wiedergeben. Eine mögliche Aussage wäre z. B.: „Wenn es Samstagabend ist, gehen die meisten Leute gerne raus.“
Beide Aussagen würden nur dann einen negativen Wahrheitswert ergeben, wenn es Samstagabend ist und die meisten Leute nicht gerne ausgehen. In allen anderen Fällen ergibt sich ein positiver Wahrheitswert.

Implikation in der Mathematik

Eine Implikation wird im Allgemeinen auch als Konditional bezeichnet. In der Mathematik wird diese in der Regel durch A und B kennzeichnet. Die Implikation stellt sich dabei so dar, das wenn A das eine aussagt, muss B demzufolge diese und jene Kriterien erfüllen. In der klassischen Logik wird diese Form zumeist verwendet. Hier wird sie als materielle Implikation bezeichnet. Neben dieser bekanntesten Form existieren auch noch die intuitionistische Implikation und die strikte Implikation.

Anwendung in der Mathematik

Die in der Einleitung genannte Definition sagt nicht all zu viel aus und ist im Grunde etwas schwammig formuliert. Darum soll hier nun näher darauf eingegangen werden.

Als Erstes wollen wir den Terminus wahrheitsfunktionale Implikation, welcher Teil der sprachlichen Implikationen ist, etwas genauer beleuchten. In dieser Form hängt der Wahrheitswert einer Aussageverknüpfung nur vom Wahrheitswert der einzelnen Teilaussagen ab. A wird hier als Antezedens und B als Konsequenz bezeichnet.

Ein konkretes Beispiel soll dies erläutern:

„Wenn ein Sturm hereinbricht, wird es draußen windig!“

Der heranziehende Sturm ist hierbei der Antezedens, während die Aussage, dass es draußen windig wird die Konsequenz ist. Hierbei handelt es sich also um eine wahre Aussage. Allerdings kann die materielle Implikation auch falsch sein. Dies ist dann der Fall, wenn der Antezedens wahr, aber die Konsequenz falsch ist. Die oben gemachte Aussage wäre also inkorrekt, wenn der Sturm hereinbricht, es aber nicht windig wird.

Allerdings bringt diese Festlegung in der Mathematik einige Besonderheiten mit sich. So ist eine Aussage immer dann wahr, wenn der Antezedens korrekt ist, aber die Konsequenz falsch. So wäre die Aussage

„Wenn Hunde mit Katzen verwandt sind, dann ist Wasser nass!“

empirisch absolut korrekt und demnach wahr. Auf diese Weise entstehen Paradoxien, welche darin begründet sind, dass zwischen beiden Aussagen kein inhaltlicher Zusammenhang bestehen muss. Der Wahrheitswert ergibt sich allein extensional aus dem Wahrheitsgehalt der jeweiligen Teilaussagen.

Die Bedingungen

Bisher haben wir uns bei der materiellen Implikation nur mit den hinreichenden Bedingungen beschäftigt, welche die genannten Paradoxien auslösen. Doch existiert auch noch die erweiterte Form der notwendigen Bedingungen.
Hier soll ebenfalls eine Aussage als Beispiel dienen:

„Man benötigt einen Führerschein, um ein Auto zu fahren!“

Hier ist der Führerschein die Bedingung dafür, dass man das Auto benutzen darf. Allerdings ist es nicht die einzige Voraussetzung, da das Führen eines Fahrzeugs noch an weitere Faktoren geknüpft ist.

An diesem Punkt kann man bereits erkennen, dass die hinreichende und die Notwendige Implikation sehr eng miteinander verwoben sind. Wenn also A immer eine hinreichende Bedingung für B ist, dann muss es sich bei notwendigerweise um eine Bedingung für A handeln. So ist die Schlussfolgerung empirisch, dass wenn man jemanden Auto fahren sieht, dieser auch einen Führerschein hat.

In der Mathematik unverzichtbar

All diese Schlussfolgerungen sind in der modernen Mathematik unverzichtbar geworden, obwohl sie im ersten Moment banal erscheinen. Sie sind ein wesentlicher Prozess dafür, um Gleichungen eine empirische Aussage zuordnen zu können. Ohne diese Konstrukte der Logik wären in der Mathematik viele fortschrittliche Erkenntnisse nicht möglich gewesen.