Der Erwartungswert stellt einen grundlegenden Begriff der Stochastik dar und bezeichnet den Mittelwert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung, also die Zahl die eine Variable im Mittel annimmt. Er ist ein theoretischer Mittelwert, da er aufgrund der Wahrscheinlichkeitsverteilung und nicht aufgrund von Daten berechnet wird.

Berechnung des Erwartungswertes

Der Erwartungswert der Zufallsvariablen bezeichnet man mit E(x). Durch die Verallgemeinerung der Definition dieses Wertes auf diskrete Zufallsvariablen, die mehr als nur zwei verschiedene Ausgänge annehmen können, so wird der Erwartungswert als E(x) = ? xipi definiert.

Um den Erwartungswert berechnen zu können, müssen alle möglichen Werte der Zufallsvariablen und deren Wahrscheinlichkeiten bekannt sein. Gelegentlich verwendet man zur Bezeichnung des E(x) einer Zufallsvariable das Symbol ?. Im Übrigen sind auch die Varianz einer sowie die Kovarianz zweiter Zufallsvariablen als Erwartungswert definiert.

Für die Varianz gilt: Var(x) = E(x – ?)².

Die Varianz der Zufallsvariablen ist als Erwartungswert einer quadrierten Abweichung von ? definiert. Für die Kovarianz zweier Zufallsvariablen gilt: Cov(x,y) = E [(x – ?x) (y – ?y)]. Die Kovarianz ist der Erwartungswert korrespondierender Abweichungen vom Mittel. Sind x und y voneinander unabhängig, dann beträgt die Kovarianz null.

Gleicher E(x) = gleiche Verteilung?

Auch wenn zwei Verteilungen den gleichen Erwartungswert haben, so können sie sehr unterschiedlich aussehen. Deswegen muss man die Streuung um den E(x) untersuchen. In der Statistik verwendete Streumaße sind die Varianz bzw. die Standardabweichung.
Die Standardabweichung wird als Wurzel aus der Varianz berechnet: ? = ?V(x)
Mit Hilfe dieser beiden Maße kann nun festgestellt werden, wie weit eine Verteilung um E(x) streut.

Interpretation und Verwendung des Erwartungswertes

Mit Hilfe des Erwartungswertes E(x) wird der durchschnittliche Wert gezeigt, wenn das durch X beschriebene Zufallsexperiment unendlich oft unabhängig wiederholt wird. Eine andere mögliche Interpretation, die auch mit dem subjektivistischem Wahrscheinlichkeitsbegriff verträglich ist, versteht E(x) als erwarteten Gewinn eines Spieles mit zufälliger Auszählung x. Daraus kann man auch schon auf die Verwendung des E(x) schließen. Dieser kann der Beschreibung nahezu jeden Zufallsexperiments dienen. Ob Glücksspiele wie Münzwürfe oder Würfelspiele, alle Experimente die man unendlich oft unabhängig wiederholen kann, können mit Hilfe des Erwartungswertes beschrieben werden.