Die logarithmische Darstellung von Zahlen hat zwei wesentliche Vorteile: Einerseits sind sehr schnell wachsende Zahlenreihen in logarithmischer Form noch immer sehr übersichtlich, andererseits vereinfacht die logarithmische Darstellung von Zahlen besonders die Rechenoperationen. Multiplikationen und Divisionen werden in der logarithmischen Darstellungsweise zu bloßen Additionen und Subtraktionen, die sehr viel leichter auszuführen sind. Die Vorteile des logarithmischen Rechnens kannte man übrigens schon im alten Indien. Die Berechnung des Logarithmus erfolgt auch heute noch auf die gleiche Weise.

Die Berechnung des Logarithmus

Jede reelle Zahl lässt sich auch logarithmisch darstellen. Diese Zahlenmenge umfasst also alle ganzen Zahlen und Brüche, die größer gleich null sind. Für negative Zahlen gibt es keine logarithmische Darstellung. Wichtig ist, zuerst die Basis für die Berechnung des Logarithmus festzulegen. Das kann eine beliebige, natürliche Zahl sein, die Zahl 2 etwa, oder die Zahl 10. Als Nächstes versucht man zu ermitteln, in welcher mathematischen Potenz die Basis exakt die umzurechnende Zahl ergibt. Mit einem einfachen Beispiel kann man illustrieren, wie man einen Logarithmus berechnen kann: nehmen wir nun einmal die Zahl 2 als Basis. 2 hoch 2 ergibt 4. Der Logarithmus der Zahl 4 zur Basis 2 ist also 2. Ein anderes Beispiel: 12 hoch 2 ergibt 144. Der Logarithmus der Zahl 144 zur Basis 12 ist also 2. Geschrieben wird das mathematisch korrekt dann so: log12(144) = 2 und log2(4) = 2. Die 12 und die 2 nach dem log werden als Basis bei der Berechnung des Logarithmus dabei tiefgestellt geschrieben. Es kommt bei der Darstellung von Zahlen auf logarithmische Weise also immer darauf an, welche Basis man wählt. Bei der Berechnung des Logarithmus stellt man dann fest, wie oft man die Basis mit sich selbst multiplizieren muss, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten. Wird als Basis zur Berechnung des Logarithmus die Zahl 10 verwendet, spricht man auch von dekadischem Logarithmus.

Mit modernen Taschenrechnern ist das Logarithmus berechnen eine leichte Übung geworden.

Mit modernen Taschenrechnern ist das Logarithmus berechnen eine leichte Übung geworden.

Eine Besonderheit bei der Berechnung des Logarithmus stellt der sogenannte natürliche Logarithmus dar. Hier kann man die Basis nicht frei wählen, sondern sie ist bereits vorgegeben. Für den natürlichen Logarithmus ist die Basis die sogenannte Eulersche Zahl – 2,7182818…. Der natürliche Logarithmus hat seinen Namen daher, weil er oft auf natürliche Weise auftritt, vor allem bei Integral- und Differenzialrechnung. Die Berechnung des Logarithmus erfolgt beim natürlichen Logarithmus aber genauso wie bei allen anderen Logarithmen, nur dass als Basis automatisch die Eulersche Zahl e verwendet wird. Die korrekte Schreibweise beim natürlichen Logarithmus lautet dann: ln (Zahl) = y.

Der Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialrechnung

Um den Logarithmus einer Zahl zu ermitteln, muss man feststellen, wie oft man eine gegebene Basis mit sich selbst multiplizieren muss, um die darzustellende Zahl zu erhalten. Die Basis kann dabei beliebig gewählt werden, ist sie 10, spricht man vom dekadischen Logarithmus, mit der Eulerschen Zahl als Basis erhält man bei der Berechnung des Logarithmus den sogenannten natürlichen Logarithmus.

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