Die Varianz ist ein Begriff der Stochastik und Statistik. In der Stochastik gibt sie die erwartet quadratische Abweichung der Zufallszahlen, von ihrem Erwartungswert an. Sie gibt also quasi die Breite der Wahrscheinlichkeitsverteilung an. Dabei gilt, liegen die Realisationen von der Zufallsvariable weit voneinander entfernt, so ist die Varianz größer.

Die Varianz gibt die Abweichung von Zufallszahlen von ihrem Erwartungswert an.

Die Varianz gibt die Abweichung von Zufallszahlen von ihrem Erwartungswert an

Berechnung

Wenn X eine Zufallsvariable mit dem Erwartungswert E ist, dann lässt sie sich folgendermaßen berechnen: Var(X)=E((X-µ)²). Für sie kann man auch schreiben. Umgeformt bedeutet das, wenn X eine Zufallsvariable mit eine Erwartungswert µ ist, gilt: ?²=E(X²)-µ². Um die Varianz zu berechnen muss man also den Erwartungswert und dessen Wahrscheinlichkeit kennen. Wenn man diese quadriert, kann man sie berechnen.

Standardabweichung

Die Varianz ist in jedem Fall eine nicht-negative Zahl. Das bedeutet, man kann die Wurzel aus ihr ziehen. Macht man dies, so bekommt man die Standardabweichung. Anhand der Standardabweichung kann man die Streuung der Zufallszahlen besser sehen, weil das Quadrat zurückgerechnet wurde. Bei eine Wurf mit zwei Würfeln (E(X)= 7, Wahrscheinlichkeit(7)=6/36) ist der Erwartungswert E(X²)=54,83, die Varianz ist 54,83-49=5,83, die Standardabweichung ist dann also 2,42. Im Durchschnitt weichen die Ergebnisse damit 2,42 Augen vom Erwartungswert (7) ab.

Statistik

In der Statistik ist sie eine wesentliche Eigenschaft von Stichproben, das heißt, unter anderem können, mit ihr Stichproben sehr gut beschrieben werden, wobei auch hier meistens die Standardabweichung zusätzlich berechnet wird, da diese die selbe Einheit wie die Stichprobe hat. Je kleiner die Standardabweichung s, desto stärker sind die Messwerte um den Mittelwert konzentriert.

Berechnung

Die (empirische) Varianz, einer Stichprobe x1,…, Xn, vom Umfang n, wird mit s²=1/(n-1) ?_(i=1)^nâ??ã??(x_i-¯x)²ã?? berechnet, wobei ¯x der Mittelwert ist. Um die Standardabweichung zu erhalten, muss wieder die Wurzel aus Var(X) gezogen werden.

Gewichteter Mittelwert

Das Gewichtete Mittel ist ein Zusammenschluss zweier Stichproben oder verteilter Zufallsgrößen, mit gleichem Erwartungswert. Die Varianz lässt sich durch die Gewichtung beeinflussen. Wählt man die Gewichtung ?_i=1/(?_i^2 ), , oder ein Wert proportional dazu, so verringert sie sich.