Wer sich in seiner Schul- oder Universitätslaufbahn des öfteren mit Mathematik oder Statistik beschäftigt, wird sicherlich früher oder später auf den Begriff der Normalverteilung stoßen. Doch was kann man sich genau darunter vorstellen? Viele von uns hören den Begriff häufig, wissen jedoch gar nicht genau, was man nun darunter versteht? Wir wollen es deshalb erklären und hoffen, dass Sie die Idee bzw. das Konzept dahinter anschließend verstehen.

Bei einer Normalverteilung handelt es sich um eine symmetrische Verteilung von Werten.

Das heißt, es gibt genauso viele niedrige wie hohe Wertausprägungen. Die Symmetrieachse der Verteilung geht genau durch den Mittelwert, also durch die durchschnittliche Wertausprägung der Verteilung. Die meisten Werte bewegen sich recht nahe an diesem Mittelwert, je weiter man sich vom Mittelwert (dem arithmetischen Mittel) entfernt, desto weniger Personen oder Objekte nehmen diese Werte an. Durchschnittliche Werte sind also recht häufig, extreme Werte, die weit vom Durchschnitt entfernt sind, kommen nur sehr selten vor. Eine weitere wichtige Eigenschaft der Normalverteilung hängt mit der sogenannten Standardabweichung zusammen, also der durchschnittlichen Abweichung der Werte vom Mittelwert.

Normalverteilung

Bei einer Normalverteilung handelt es sich um eine symmetrische Verteilung von Werten.

Bei einer perfekten Normalverteilung befinden sich gut 2/3 der Werte im Bereich innerhalb einer Standardabweichung über und unter dem Mittelwert.

Insgesamt etwa 95 Prozent befinden sich im Bereich von zwei Standardabweichungen um den Mittelwert und knapp 100 Prozent aller Werte befinden sich im Bereich von drei Standardabweichungen um den Mittelwert. Werte, die mehr als drei Standardabweichungen vom Durchschnitt abweichen, sind somit äußerst selten. Es kann solche Extremwerte geben, allerdings treten sie nur sehr selten auf.

Wie kann man sich die Normalverteilung nun grafisch vorstellen?

Wenn man ihre Werte in ein zweidimensionales Koordinatensystem (in dem die x-Achse für die Werte selbst und die y-Achse für deren Häufigkeit steht) überträgt, dann ergibt sich die Form einer Glocke. Deshalb wird der Graph dieser Funktion auch „Gausssche Glockenkurve“ genannt, nach ihrem Entdecker, dem Mathematiker Gauß.

Viele Merkmale in der Natur fogen dem Prinzip der Normalverteilung, so etwa die Körpergröße von Menschen. Menschen sind durchschnittlich etwa 1,72 Meter groß, die meisten Menschen weichen nur relativ gering von diesem Wert ab, Personen, deren Körpergröße weit von diesem Mittelwert abweicht, findet man hingegen relativ selten. Auch die Intelligenz von Menschen ist per Definition normalverteilt.

Welche Bedeutung hat die Normalverteilung

Die Statistik ist ein wichtiges Teilgebiet der Mathematik, und innerhalb der Statistik nimmt die Betrachtung von Wahrscheinlichkeiten bzw. die Verteilung von Wahrscheinlichkeiten ein weites Feld ein. Eine in der Natur häufig auftretende Verteilung von Wahrscheinlichkeiten kann mathematisch exakt (analytisch) durch die so genannte Gauß-Verteilung nach Carl Friedrich Gauß beschrieben werden. Diese (stetige) Gauß’sche Glockenkurve wird deshalb auch als Normalverteilung bezeichnet.

Normalverteilung und die Größen der Menschen

Als ein anschauliches Beispiel diene hier noch einmal die Menschheit bzw. die Größe der einzelnen Menschen. Es gibt heute besonders viele erwachsene Menschen, die zwischen 1,70 und 1,80 m groß sind, aber es gibt weniger Menschen im Größenintervall von 1,90 bis 2,00 m bzw. von 1,50 bis 1,60 m. Betrachtet man dazu auch noch die Größenintervalle 2,10 bis 2,20 m und auf der anderen Seite 1,30 bis 1,40 m, dann ist jedem klar, dass dort schon sehr deutlich weniger Menschen untergebracht werden können.

Ob die Zahlen nun so stimmen, sei dahin gestellt. Worum es bei dem Beispiel geht, ist ja nur, dem Leser anschaulich klar zu machen, dass es hier ein Längenwachstumswert mit maximaler Wahrscheinlichkeit gibt, wobei die Wahrscheinlichkeit sowohl zu größeren als auch zu kleineren Körpergrößen immer weiter abnimmt. Anders ausgedrückt: Wenn Sie Ihre schwangere Freundin fragt, wie groß ihr Kind wohl später als Erwachsener sein wird, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie Recht haben am größten, wenn Ihre Antwort 1,75 m ist.

Auch Abweichungen und Messfehler kennt die Normalverteilung

Weitere Anwendungen der Normalverteilung sind z. B. zufällige Messfehler, die Brown’sche Molekularbewegung, zufällige Abweichungen vom Standardmaß der Herstellung bestimmter Werkstücke. In der Mathematik der Versicherungsbranche werden in Modellrechnungen auf Basis der Gauß-Funktion die möglichen Abweichungen von mittleren Schadenshöhen abgeschätzt, um die Prämien so gestalten zu können, dass das Unternehmen im Ergebnis Gewinne macht.

Genaueres zur Standardabweichung

Eine wichtige Größe der Mathematik und Statistik ist auch und gerade im Zusammenhang mit der Normalverteilung die so genannte Standardabweichung, die in der Mathematik meistens mit dem griechischen Buchstaben „Sigma“ bezeichnet wird. Anschaulich handelt es sich hierbei um ein Maß für die Halbwertsbreite der Gauß’schen Glockenkurve, also die Breite der Glocke auf dem Niveau ihres halben Maximalwertes. Bei sehr breit gestreuten Daten, die also häufig auch sehr weit von ihrem Mittelwert abweichen, ist die Standardabweichung größer als wenn alle betrachteten Daten ihrem Mittelwert sehr nahe stehen.

Um die Gauß-Kurve nun mathematisch beschreiben zu können, müssen wir jetzt nur noch den Begriff der Varianz einführen, was auch ein Maß für die Streubreite der Daten ist, nämlich einfach nur die Quadrierung der Standardabweichung (sigma^2). Damit kann die in der Mathematik verwendete so genannte Dichtefunktion der Normalverteilung endlich auch als Formel dargestellt werden:

1/Wurzel(2 pi sigma^2) mal exp(-(x-Median)^2/2sigma^2)

Der Median ist ein spezieller Mittelwert in der Mathematik, wird in diesem Zusammenhang auch als Modus oder Erwartungswert bezeichnet, und sigma^2 ist die oben bereits erwähnte statistische Größe der Varianz.