Ableitungen sind ein Begriff aus der Differentialrechnung. Sie werden gebraucht, um die Steigung einer Funktion zu berechnen. Dabei wird die Frage beantwortet, wie stark eine Funktion an einer bestimmten Stelle steigt. Steigungen finden sich in vielen alltäglichen Situationen. Am bekanntesten dürfte die Straßensteigung sein. Wenn der Autofahrer jetzt wissen möchte, wie die Steigung auf einer hügeligen Straße ist, die er befährt, so könnte er eine Funktion berechnen, die ihm angibt, wie hoch die Straße an jeder Stelle ist. Diese Berechnung erfolgt mit Hilfe von Ableitungen.

Die Ableitungen bei linearen Funktionen

Eine lineare Funktion ist eine geradlinig steigende Funktion. Die Steigung dieser Funktion ist in jedem Punkt gleich. Zur Berechnung der Steigung werden zwei Punkte auf der Gerade gewählt. Beide Punkte bestehen aus Werten auf der X-Achse und der Y-Achse. Die X-Punkte werden von einander abgezogen und das gleiche geschieht auch mit den Y-Punkten. Dann werden die Ergebnisse von Y durch X dividiert.

Beispiel:

  • Erster Punkt:
    X-Wert: 6, Y-Wert: 3.
  • Der zweite Punkt: X-Wert: 2, Y-Wert: 1.
    X-Werte subtrahieren: 6-2=4
    Y-Werte subtrahieren: 3-1=2
    Y/X= 2/4= 0,5.

Die Steigung ist in jedem Punkt der linearen Gerade: 0,5. Der Wert der Ableitung ist 0,5.

Die Ableitungen bei nicht linearen Funktionen

Eine hügelige Straße wird mathematisch mit einer nicht linearen Funktion beschrieben. Die Steigung einer solchen Funktion ist dann in jedem Punkt verschieden. Um diese Steigung zu berechnen, werden wieder zwei Punkte gewählt. Die beiden Punkte werden durch eine Gerade verbunden. Diese Gerade, die die krumme Funktion in den gewählten Punkten schneidet wird Sekante genannt. Aber eine Berechnung der Steigung der Sekante würde keine richtigen Werte für die nichtlineare Funktion geben. Die Abstände der Punkte sind zu groß gewählt.

Die beiden Punkte werden nah aneinander geführt. Nun ist der erste Punkt fast auf dem zweiten. Die Gerade wird nur noch in einem Punkt geschnitten. Diese Gerade wird Tangente genannt. Ihre Steigung entspricht der annähernd der Steigung der nichtlinearen Funktion an diesem Punkt. Die Ableitung, die diesen Punkt der nicht linearen Funktion beschreibt ist wieder eine Funktion. Eine lineare Funktion.
Das Werkzeug zur Berechnung der Steigungen von nichtlinearen Funktionen wird Differentialrechnung genannt.

Die Arten der Ableitungen

Mit Hilfe der Differentialrechnung kann das Steigungsverhalten von Funktionen untersucht werden. Um das Steigungsverhalten zu berechnen wurden unterschiedliche Ableitungsregeln geschaffen. Die Potenzregel ist gut für Funktionen des linearen Typs oder nicht lineare Funktionen, die mit Potenzen dargestellt werden.

Beispiel: x², x²+1

und andere.

Die Summenregel wird bei Funktionen angewendet, die eine Addition oder Subtraktion in ihrem Ausdruck enthalten:

x²+x², 3x²+5x³-x³

Die Quotientenregel ist für Funktonsausdrücke, die als Bruch geschrieben werden:

x²-1/x³

Wird die Funktion mit einem Produkt beschrieben, werden die Ableitungen mit der Produktregel erstellt:

(x²-6x) * (x³+5)