Was man in der Schule lernen und in einem technischen oder naturwissenschaftlichen Studium anwenden können sollte, ist eine e-Funktion ableiten zu können. Dabei stellt sich die Frage was eine e Funktion ist und was an ihr so besonders ist.

 

Was ist die e-Funktion?

Die e Funktion ist grundsätzlich eine Exponentialfunktion, allerdings mit einer speziellen Basis. Diese besondere Basis ist die Eulersche Zahl „e“ mit e=2,718281828459…
Man nennt diese Form der Funktion auch „natürliche Exponentialfunktion“.

Das besondere an dieser Basis ist, dass an jeder Stelle der Funktion, der Funktionswert gleich dem Anstieg ist. Legt man also an einer beliebigen Stelle x eine Tangente an die Kurve und misst oder berechnet deren Anstieg (oft „m“ genannt), so ist dieser Wert genauso groß, wie der y-Wert (Funktionswert) für dieses x. Man weiß also, wenn man den Funktionswert an einer Stelle errechnet, sofort, wie steil die Funktion an genau dieser Stelle ist.

Was ist das Besondere?

Der Funktionswert ist also gleich dem Anstieg. Den Anstieg an einer beliebigen Stelle einer Funktion errechnet man, gemäß der Differentialrechnung, mit der ersten Ableitung dieser Funktion. Dabei stellt sich nun die Frage, wie man eine e Funktion ableiten kann.

Da Funktionswert und Anstieg gleich sind, der Funktionswert mit der Grundfunktion und der Anstieg mit der ersten Ableitung berechnet werden, kann man daraus schließen, dass die erste Ableitung gleich der Grundfunktion ist. Das gilt für alle Ableitungen der e Funktion. Ob erste oder zweite Ableitung, die Funktion ist immer die e-Funktion selbst. Die e Funktion ableiten zu können, ist also gar nicht so schwer. Dabei ist zu beachten, dass man bei verketteten Funktionen oder bei Produkten, alle nicht e-Funktionen ableiten muss. Nur die e Funktion bietet diese Möglichkeit. Alle Exponential-funktionen mit anderen Basen (häufig allgemein mit „a bezeichnet“) können auf eine e Funktion zurückgeführt werden, sodass man alle Exponentialfunktionen ganz einfach über die e Funktion ableiten kann.

Wo findet die e Funktion ihre Anwendung?

Alle Naturwissenschaftler und auch Ingenieure, aber auch Wirtschafter, müssen sich mit dieser Funktion auskennen. Jeder von Ihnen muss eine e Funktion ableiten können. Eine e Funktion ableiten ist recht einfach und die Umwandelbarkeit anderer Exponentialfunktionen in e-Funktionen ermöglicht eine relativ einfache Berechnung vieler natürlicher Prozesse. In der Natur findet man häufig Prozesse mit exponentiellen Zusammenhängen. Ob das Ansteigen einer Population in der Biologie, die Ladungskurve eines Kondensators in der Physik – überall finden wir exponentielles Wachstum. In der Wirtschaft wird oft mit Zinsen gerechnet, welche auch einen solchen Zusammen- hang aufweisen. Es gibt ein breites Anwendungsfeld für Exponentialfunktion und aufgrund der Vereinfachung durch die e Funktion auch für diese.