Begriff der partiellen Ableitung begegnet jedem Ingenieur, Mathematiker oder auch BWL-Studenten im Laufe seines Lebens und wird ihn dann auch den Rest ebendieses begleiten. Für alle, die wissen wollen, oder noch nicht ganz verstanden haben, was der Begriff bedeutet, ist er im Folgenden genauer erklärt.

Zunächst gilt es, sich wieder in Erinnerung zu rufen, was denn eigentlich eine Ableitung ist, und wie sie definiert war. Als Ableitung f'(x) bezeichnet man die Steigung einer Funktion, also wie schnell sie wächst oder fällt. Um diese Steigung in einem Punkt herauszufinden, legt man die Tangente an die Funktion an und bildet den Differentialquotienten:

lim(b?a)[(f(b)-f(a))/(b-a)]

Meistens leitet man Funktionen allerdings nach Regeln, welche sich aus dieser Definition herleiten lassen, ab. Beispielsweise gilt bei Potenzfunktionen:

f(x)=a*x^k

? f'(x)=a*k*x^(k-1)

also ist 3x^2 abgeleitet 3*2*x = 6x.

Was ist jetzt aber eine partielle Ableitung?


Bisher haben wir immer nur Funktionen betrachtet, die nur von einer Variablen abhängen, also zu Beispiel von x oder vielleicht von der Länge l irgendeines Rechtecks.
Es gibt aber auch Funktionen, die von mehr als nur einer Variablen abhängen, diese werden dann wie folgt notiert:

f(x,y)= x^2+y^2

oder

g(l,b)=3*b*l+8a*b/l

wobei a in der Funktion g(l,b) eine Konstante beschreibt.

Die partielle Ableitung ermöglicht es nun auch solche Funktionen sinnvoll abzuleiten (daneben gibt es noch die totale Ableitung, die uns an dieser Stelle aber nicht interessiert):

Für die partielle Ableitung einer Funktion betrachtet man immer nur eine Variable, nach der partiell abgeleitet wird. Man denkt sich also die anderen Variablen als Konstanten, die unveränderbar sind und leitet die Funktion dann ganz normal, wie oben beschrieben, ab. Notiert wird sie mit einem geschwungenen ð (siehe unten).

Schauen wir uns zum besseren Verständnis der partiellen Ableitung die Funktion f aus dem obigen Beispiel an:

Um sie partiell nach x abzuleiten denken wir uns y als eine Konstante. Konstanten abgeleitet ergeben für sich alleine aber immer null, also gilt:

ðf(x,y)/ðy=2x

analog für y:

ðf(x,y)/ðy=2y

Ist eine Funktion wie

h(x,y)=k*x*y^2,

gegeben, so ergibt sich einmal die partielle Ableitung nach x und nach y

ðh(x,y)/ðx=k*y^2

ðh(x,y)/ðy=2k*xy

Im zweiten Beispiel gilt somit:

ðg(l,b)/ðl=3l-8a*b/(l^2)

ðg(l,b)/ðb=3b+8a/l

Zu beachten ist, dass man immer nach einer Variable partiell ableiten muss, der Satz „die partielle Ableitung der Funktion f(x,y)“ ergibt alleine also keinen Sinn.