Für die Differentialrechnung in der Analysis müssen Schüler für das Abitur oder Studenten der Wirtschaftswissenschaften einige Ableitungsregeln beherrschen. Die Ableitungsregeln werden für die erste bis dritte Ableitung bei einer Kurvendiskussion benötigt.

 

Ableitungen bei der Kurvendiskussion

In einem Studium der Wirtschaftswissenschaften wird in der Klausur von Mathematik I meistens eine Funktion gegeben, die untersucht werden soll. Um Extremwerte zu berechnen, werden Ableitungsregeln benötigt. Zu erst werden die X-Werte der ersten Ableitung gesucht. Diese werden dann in die zweite Ableitung eingesetzt. Ist die Funktion der zweiten Ableitung bei den X-Werten aus der ersten Ableitung kleiner null, dann befindet sich bei dem X-Wert ein Maximum. Sind sie größer null, dann handelt es sich um ein Minimum. Die X-Werte der zweiten Ableitung müssen auch gefunden werden. Sie werden in die Ausgangsfunktion eingesetzt, um die Koordinaten der Wendepunkte der Funktion auf dem Koordinatenkreuz zu finden. Die X-Werte der zweiten Ableitung müssen auch noch in die dritte Ableitung eingesetzt werden, damit geprüft werden kann, ob die Funktion einen Wende- oder Sattelpunkt besitzt.

Der Gedanke der Ableitungsregeln


Die Ableitungsregeln werden benötigt, um die Steigung einer Kurve an jeder möglichen Stelle zu berechnen. Die Entdeckung der Anwendung der Ableitungen, gehen auf den Physiker Sir Isaac Newton und den deutschen Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibnitz zurück.

Unterschiedliche Regeln für Ableitungen

Der Student kann sich die Mühe machen, den Hintergrund der Ableitungsregeln zu verstehen. Dies ist aber nicht nötig. Ein Auswendiglernen der unterschiedlichen Regeln der verschiedenen möglichen Funktionen genügt für ein erfolgreiches Bestehen einer Klausur.

Die einfachste Form der Ableitung

Gegeben sei eine Funktion f(x)= x^3+x^2+2x+1 Hierbei handelt es sich um eine kubische Funktion. Um diese abzuleiten, muss die Funktion f'(x) gebildet werden.
Die Exponenten der Variable X werden als Faktor vor die Variable geschrieben und anschließend um 1 veringert. Daraus ergibt sich f'(x)= 3x^2+2x+2
Die 1 aus der ursprünglichen Funktion entfällt, da sie kein Konsonant einer variable ist.

Die Kettenregel

Aus der Kettenregel ergibt sich für f(x) = g(h(x)) ist die Ableitungf'(x) gegeben durch
f'(x) = h'(x) * g'(h(x)).

Die Produktregel

Bei einer Funktion der Form y=x^2(2x-1) wird x^2 als u und (2x-1) als v bezeichnet und separat betrachtet. u’=2x und v’=2. Die Produktregel lautet nun y’=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
So ergibt sich y’=2x(2x-1)+x^2(2)
Dies kann noch vereinfacht werden zu y’=2x(2x-1)+2x^2