Im Teilgebiet der Analysis, genauer gesagt der Infinitesimalrechnung, spielt der Begriff „Ableitung“ eine zentrale Rolle. Diese beschreibt allgemein gesagt die Anstiegskurve aller Tangenten an eine Funktion. Demnach definiert die Ableitung einer Funktion an einer beliebigen Stelle x den Anstieg der Tangente an die Ursprungsfunktion in diesem Punkt.

Herleitung der Ableitung


Die Formel zur Berechnung des Tangentenanstiegs leitete sich ursprünglich aus dem Bestimmen einer Sekanten an die Funktion, dessen Punkte rechnerisch aneinander angenähert wurden, her. Um dies zu erreichen, müssen die Werte von x und die dazugehörigen Funktionswerte des Differenzenquotients möglichst kleine Werte ergeben. Bei den meisten Funktionen besitzt der Differenzenquotient jedoch stets einen festen Wert, es existiert also ein Grenzwert. Dieser Grenzwert, den man gegen „0“ gehen lässt und dadurch eine neue Funktion erhält, wird auch Ableitung oder Differentialquotient genannt. Dieses Verfahren wird auch nach dem Begründer Isaac Newton als Newton-Verfahren bezeichnet. Solche Funktionen sind differenzierbear, besitzen also für jede Stelle von x einen Funktionswert und demnach auch eine entsprechende Tangente. Diese Betrachtung gilt jedoch als sehr aufwändig. Um das lokale Verhalten der Funktion zu bestimmen, wird eine Ableitung f´(x) hergestellt, um den Anstieg jedes einzelnen Punktes errechnen zu können. Man erhält dadurch eine neue Funktion. Um dem komplizierten Verfahren über den Differenzenquotient zu umgehen, wurden spezielle Rechenregeln für die Ableitung entwickelt.

Besondere Rechenregeln

Um schwierige Funktionen ableiten zu können, müssen diese zunächst in Gedanken zerlegt werden, um die elementaren Regeln anwenden zu können.
Diese seien:

  • liegt ein konstanter Wert in der Funktion vor, so wird dieser zur „0“ abgeleitet, verschwindet also beim Ableiten. Ausnahme bildet ein konstanter Faktor, also eine Konstante vor einem x-Wert. Dieser bleibt erhalten und wird mit der Ableitung von x verknüpft.
  • liegt der x-Wert in der n-ten Potenz vor, so wird das n beim Ableiten vor das x geschrieben und von der Potenz „1“ abgezogen (n-1)
  • wird ein Produkt zweier Faktoren in Klammern abgeleitet ( sprich: (g*f)´), so gilt beim Ableiten: f´(x)= g´*f+g*f´
  • wird ein Quotient abgeleitet (sprich: (g:h)´), wird die Ableitung folgendermaßen bestimmt: f´(x)= (g´*h-g*h´):(h*h)
  • Besonderheiten: Wird der Logarithmus eines Terms abgeleitet, so erscheint dieser im Nenner eines Bruchs, dessen Zähler „1“ ist. Die Ableitung der Euler´schen Zahl ist stets diese selbst.

Verwendungszweck

Durch das Ableiten einer Funktion lassen sich deren Extremstellen berechnen. Dies begründet sich dadurch, dass der Anstieg der Tangenten in einem lokalen Extrempunkt stets „0“ ist. Setzt man die erste Ableitung einer Funktion „0“, so kann man sowohl Hoch- als auch Tiefpunkte untersuchen. Für Wendestellen benötigt man die zweite.