Das Newton-Verfahren wurde 1669 von Sir Isaac Newton entwickelt und ist bis heute ein Standardverfahren in der Mathematik. Mittels dieses Verfahrens können Lösungen nicht-linearer Gleichungen bis zu einer beliebigen Genauigkeit bestimmt werden, selbst wenn sich die Gleichung mit herkömmlichen Mitteln nicht lösen läßt. Das Newton-Verfahren wurde 1690 von Joseph Raphson erweitert und formalisiert.

Die Idee

Die grundsätzliche Idee des Newton-Verfahrens beruht darauf, dass man zunächst die Lösung grob bestimmt und dann die nicht-lineare Gleichung durch eine lineare Gleichung (die Tangente in diesem Punkt) ersetzt, mit Hilfe derer die Lösung noch näher bestimmt werden kann. Das Newton-Verfahren kann so lange wiederholt werden, bis eine gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

Graphische Lösung

In der graphischen Lösung des Newton-Verfahrens wird an einen beliebigen x in der Nähe der Lösung eine Tangente durch den Punkt der Funktion gelegt. Diese Tangente schneidet dann die x-Achse in einem Punkt x1, der die nächste Näherung darstellt. Dann wird die nächste Tangente durch den Punkt (x1/y1) gelegt usw. Ich erhalte also eine Folge von Punkten x für die gilt: x_{n+1}=x_n-frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

Rechnerische Lösung

Wir wollen mit Hilfe des Newton-Verfahrens eine Lösung der Gleichung 0 = x^3-2x-5 bestimmen. Bekanntermaßen gibt es kein Verfahren, hier Nullstellen auszurechnen, deshalb wählt man hier zum Beispiel die 2 als erste Näherung. Die echte Nullstelle ist also 2+p, wobei p relativ klein ist. Ersetze ich nun in der Funktion x durch 2+p erhalte ich unter Berücksichtigung der binomischen Formeln 0 = -1+10p+6p^2+p^3. Für meine Näherung (analog der Tangente) betrachte ich hier nur den linearen Teil der Gleichung, also 0 = -1+10p. Da p klein ist, ist p² und p³ sehr klein und kann daher vernachlässigt werden. Damit ergibt sich p = 0,1. Meine neue Näherung für die Nullstelle ist also 2,1. Das verfahren wird dann mit der Näherung 2,1+p wiederholt. Auch hier kann das Newton-Verfahren beliebig oft wiederholt werden.