Eine Tangente ist eine Gerade, die eine andere Line bzw. Kurve, in der Mathematik spricht man von einer Funktion, in einem Punkt (zärtlich) berührt. Selbstverständlich könnte man millionen Geraden zeichnen, die eine Funktion an einer Stelle antasten, aber für die Tangente gelten ganz bestimmte Eigenschaften.

Bildung der Ableitung

Die Tangente muss exakt die Steigung der Funktion im betrachteten Punkt ausdrücken. In der Mathematik ist die Steigung (Schräglage) der Tangente gleichbedeutend mit der Ableitung der Funktion. Für ihre Bestimmung betrachtet man das Steigungsdreieck. Sei f(x) eine stetige Funktion in der weiteren Umgebung der Stelle x, dann ergibt sich die Steigung der Tangente an der Funktion f(x) an der betrachteten Stelle x aus der folgenden Überlegung:

h sei ein sehr kleiner Schritt neben der Position x; man könnte es auch als Delta-X bezeichnen. Es gibt also den Funktionswert f(x) an der Stelle x, und es gibt den benachbarten Funktionswert f(x+h) an der direkt daneben liegenden Position x+h. So lässt sich aus dem vertikalen Abstand f(x+h)-f(x) und dem horizontalen Abstand h ein kleines rechtwinkliges Dreieck bilden, dessen Hypotenuse schon recht nahe an den Verlauf der Funktion in diesem Bereich heran kommt. Die Steigung der Hypotenuse im Diagramm ist:

tan(alpha) = (f(x+h)-f(x))/h [Differenzenquotient]

Die gesuchte Steigung der Tangente im Punkt x, also die Ableitung der Funktion [f'(x)] erhält man dann, wenn man h und damit auch das betrachtete Dreieck immer kleiner werden lässt. In der Mathematik spricht man hier von einem Grenzübergang bzw. von der Bildung des Limes.

Beispiel

f(x) = -3×2 + 2x -5
f(x+h) = -3(x+h)2 + 2(x+h) -5
Die binomische Formel darin muss ausmultipliziert werden:
f(x+h) = -3×2 -6xh -3h2 +2x +2h -5
Damit bleibt für den Zähler noch Folgendes übrig:
f(x+h) – f(x) = -6xh -3h2 +2h
Zur Bestimmung der Steigung der Tangente wird dieser Zähler noch durch h dividiert:
tan(alpha) = -6x -3h +2
Zur eigentlichen Ableitung der Funktion kommt man nun, wenn man h gegen null gehen lässt, so sagen es die Mathematiker, wenn sie meinen, dass h extrem klein sein soll. Also setzen wir hier h=0 und erhalten:
f'(x) = -6x +2
Damit haben wir auch gleich die Steigung der Tangente in jedem beliebigen anderen Punkt x bestimmt; die Ableitung der Funktion ist selbst auch wieder eine andere Funktion. Für die Bildung der Ableitung gibt es in der Mathematik praktische Vorschriften; man muss nicht in jedem Fall den eher komplizierten Weg über die Bildung des Limes des Differenzenquotienten gehen.

Maximal- und Minimalwerte der Funktion

Das obige Beispiel zeigt auch, dass es nun sehr leicht ist, die Position des Maximums der quadratischen Funktion (Parabel, Wurfbahn) zu finden. Minima oder Maxima einer Funktion zeichnen sich dadurch aus, dass die anliegende Tangente in diesen Punkten horizontal ist, also keine Steigung (null) hat. Setzt man also f'(x) = 0, dann ergibt sich: x = 1/3
Es gilt ganz allgemein: die (alle) Nullstellen der Ableitung einer Funktion markieren die (alle) Positionen der Minima- und Maxima der Funktion.

Nullstellen

Auch aus diesem Grunde hat die Bestimmung der Nullstellen einer Funktion in der Mathematik eine ganz wesentliche Bedeutung. Bereits im 17. Jahrhundert hat Sir Isaac Newton zur Nullstellen-Bestimmung ein Näherungsverfahren entwickelt, das als Newton-Verfahren Eingang in die Literatur gefunden hat. Etwas später unterfütterte Joseph Raphson diese Berechnungen mit einer theoretischen Grundlage, was den Mathematikschülern dieser Welt schließlich das Newton-Raphson-Verfahren bescherte.