Die Hessesche Normalform ist eine Art der Darstellung von Geraden im zwei- und Ebenen im dreidimensionalen Koordinatenraum. Sie wird meist verwendet, um Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen zu bestimmen.

Allgemeine Gleichung

Für Geraden im zweidimensionalen Koordinatensystem schreibt man die Differenz der Produkte aus Normaleneinheitsvektor und dem unbekannten „x-Vektor“ bzw. aus Normaleneinheitsvektor und Aufpunktvektor und setzt dieses gleich Null.

Für Ebenen im dreidimensionalen Raum behält die Hessesche Normalform die gleiche Gestalt, es werden lediglich statt zweidimensionaler dreidimensionale Vektoren eingesetzt.

Abstandsberechnungen

Das Produkt aus Normaleneinheitsvektor und Aufpunktvektor kann zu einer meist als „d“ bezeichneten Konstante zusammengezogen werden, da beide Vektoren bei Kenntnis der Hesseschen Normalform bekannt und unabhängig vom interessierenden Punkt X sind (dessen Ortsvektor der „x-Vektor“ ist).

Der Abstand eines Punktes zu Gerade bzw. Ebene ergibt sich nun als der Betrag des Ergebnisses des linken Teils der allgemeinen Gleichung (also der Differenz der Produkte der Vektoren) der gegebenen Gerade/Ebene.

Auch die Berechnung des Abstands von Geraden oder Ebenen untereinander bzw. zwischen einer Geraden und einer Ebene erfolgt nach dem oben bereits beschriebenen Prinzip. Es muss dann jeweils immer ein Punkt einer der Geraden/Ebenen bekannt sein und in die Hessesche Normalform der anderen eingesetzt werden.

Die Hessesche Normalform erhalten

Die Hessesche Normalform ist eine Geradengleichung aus der Mathematik und kann aus allen anderen bekannten Darstellungsformen von Geraden und Ebenen gewonnen werden, also aus:

  • Parameterform
  • Koordinatenform
  • Normalenform

Wie der Name bereits vermuten lässt, zeigt die Hessesche Normalform die größte Ähnlichkeit mit der allgemeinen Normalenform von Geraden bzw. Ebenen. Zur Umformung muss lediglich aus dem Normalenvektor der Normalenform, der Normaleneinheitsvektor der Hesseschen Normalform erzeugt werden. Dies geschieht, indem man den Normalenvektor durch seinen eigenen Betrag dividiert.

Die Berechnung der Hesseschen Normalform über die allgemeine Normalenform von Geraden bzw. Ebenen ist die einfachste, sodass es sich empfiehlt, auch Parameter- und Koordinatenform zunächst in die allgemeine Normalenform umzuwandeln.

Dies geschieht bei der Parameterform einer Ebene etwa mittels Berechnung des Vektorprodukts (das einen Normalenvektor erzeugt), bei der Parameterform einer Geraden mittels eines linearen Gleichungssystems.

Ist eine Koordinatenform gegeben, kann der Normalenvektor durch simples Ablesen ermittelt werden (Komponenten des Vektors sind die Koeffizienten vor den Variablen).

Bei Sonderformen wie einer Normalen- oder Tangentengleichung einer Geraden ist diese zunächst in die allgemeine Koordinatenform umzuwandeln.