Eine Tangentengleichung ist in der Mathematik die Gleichung eine Gerade, die eine andere Funktion an einer Stelle berührt, aber nicht schneidet. Es ist offensichtlich, dass die zweite Funktion nicht linear sein darf, da zwei Geraden diese Bedingungen nicht erfüllen können.

Die Funktion und die Tangente haben im Berührungspunkt die gleiche Richtung, die Tangente ist somit die beste lineare Annäherung der Funktion in diesem Punkt. Die Funktion selbst muss in diesem Punkt differentierbar sein, da sonst der Begriff der Tangente keinen Sinn hat.

Tangentengleichung

Die Tangentengleichung ist in der Mathematik eine Geradengleichung und wird am leichtesten durch die Punkt-Steigungsform m = (y-y1) / (x-x1) bestimmt. Der Punkt (y1/x1) ist dabei der Schnittpunkt der Tangenten mit der anderen Funktion, der Punkt (y/x) ist jeder andere beliebige Punkt der Tangentengleichung.

Die Steigung der Tangente wird, da sie und die Funktion in diesem Punkt die gleiche Steigung haben, durch die erste Ableitung der Funktion bestimmt. m ist also gleich f´(x1).

Kreis und Kugel

Im einfachsten Fall berührt die Tangente einer Tangentengleichung einen Kreis im zweidimensionalen oder eine Kugel im dreidimensionalen Koordinatensystem. Zusätzlich zur bekannten Steigung an diesem Punkt wissen wir hier auch, dass der Radius des Kreises oder der Kugel senkrecht auf der Tangente steht. Mit diesem Wissen ist es auch möglich Tangenten zu bestimmen, wenn eine Normalenform der Geradengleichung gegeben ist.

Hat die Tangente im zweidimensionalen Raum die Steigung m, so hat der Radius das berührten Kreises die Steigung -1/m. In einem dreidimensionalen Koordinatensystem kann man die Tangente auch als Vektor auffassen. Das Skalarprodukt von Tangente und Radius muss dann 0 sein, da der Winkel zwischen den beiden Vektoren 90 Grad ist.

Näherungsverfahren nach Newton

Die Tangentengleichung wird hier dazu verwendet, die nichtlineare Funktion zu nähern. An einem beliebigen Punkt in der Nähe der vermuteten Nullstelle wird die Tangentengleichung bestimmt.

Der Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse bildet dann den Ausgangspunkt des nächsten Näherungsschrittes.