Die Potenzrechnung treibt viele Schüler zur Verzweiflung und bleibt auch vielen Menschen auch im Erwachsenenalter ein Rätsel. Dabei sind Potenzen nicht viel mehr als eine praktische und elegante Möglichkeit mathematische Sachverhalte darzustellen. Sobald man die Potenzgesetze kennt und verinnerlicht hat, wird man die Potenzrechnung nicht mehr missen wollen.

Historisches:

Wie so viele mathematische Konzepte stammt auch die Potenzrechnung von den alten Griechen. Archimedes bewies die unten aufgeführte Regel des Produkts im Exponenten, allerdings nur für Zehnerpotenzen.

Definition der Potenz:

Die allgemeine Definition der Potenz ab bedeutet, dass die Zahl a b-mal mit sich selbst multipliziert wird. Dabei wird die Zahl a Basis und die Zahl b Exponent genannt. Ein Beispiel wäre also 34=3 × 3 × 3 × 3 = 81. Man sieht, dass es sich lediglich um eine sehr logische abkürzende Schreibweise handelt. Im folgenden gehen wir auf die daraus entstehenden Potenzgesetze ein.

Summe im Exponenten:

a b+c=a b × a c

Diese Regel wird schnell klar, wenn man die obige Definition der Potenz benutzt.

Produkt in der Basis:

(a × b) c=a c × b c

Auch diese Regel folgt direkt aus der Definition, da bei einem Produkt bekanntlich die Faktoren beliebig vertauscht werden können.

Potenzen mit Null:

Wenn a ungleich null ist, gilt

0 a=0

bzw.

a 0=1.

Schließlich gilt

0 0=1.

Produkt im Exponenten:

Eine wichtige Regel, die es uns erlaubt, die enge Verwandschaft zwischen Potenzen und Wurzeln aufzuzeigen.

a b × c= (a b ) c = a b c

Auch dieses Potenzgesetz folgt dirket aus der Definition. Wenn wir nun b = 2 und c = 1/2 setzen, folgt:

a 2 × 1/2= a 1 = a = (a 1/2 )2

Wenn man daraus die Wurzel zieht, folgt direkt

? a = a 1/2

Allgemein kann man schreiben:

b ?a = a 1/b

Das heißt also, dass Wurzelziehen im Grunde dasselbe ist wie Potenzieren, nur mit gebrochenem Exponenten. Daraus folgt, dass ein Großteil der Wurzelgesetze analog zu den oben aufgführten Potenzgesetzen sind.

Zehnerpotenzen:

Eine wichtige Anwendung sowohl im wissenschaftlichen Bereich, als auch bei Computern oder Taschenrechnern sind die Zehnerpotenzen. Bei sehr großen oder kleinen Zahlen wäre es zu mühsam, diese als Dezimalzahlen darzustellen, so dass man Zehnerpotenzen zu Hilfe nimmt. Als Beispiel kann man die Zahl 0,0000000001 viel anschaulicher als 1,0 × 10 -10 schreiben. Taschenrechner verwenden dabei meist ein E, im Gegensatz zur 10, also:

0,0000000001 = 1,0 × 10 -10 = 1,0 E-10

In der Physik ist diese Schreibweise sehr beliebt, z.B. bei der Masse eines Elektrons

m = 9.10938291 × 10-31 kg.