Wurzelgesetze sind festgelegte Rechenoperationen in der Mathematik, die das Zusammenfassen von Wurzelausdrücken ermöglichen. Da das Wurzelziehen eine Umkehrung des Potenzierens ist, sind die Wurzelgesetze den Gesetzen der Potenzrechnung sehr ähnlich. Insgesamt gibt es fünf Gesetze, die alle möglichen Rechenoperationen abdecken.

Definition von Wurzel

Eine Wurzel besteht aus einem Radikanten, dem Wert, aus dem die Wurzel gezogen werden soll und dem Wurzelexponenten, der angibt, die wievielte Wurzel gezogen werden soll.
Formel 1) beschreibt eine Wurzelfunktion mit dem Radikanden a, dem Wurzelexponenten n und dem Wurzelwert b. Um zu zeigen, dass die Wurzelfunktion eine Umkehrfunktion der Potenzrechnung ist, kann die Funktion in eine Potenz umgeformt werden (2)). Die Wurzel wird dann als Potenz geschrieben und entspricht der 1/nten Potenz.
1) ^n?a=b
2) a^(1/n)=b
Steht das Wurzelzeichen alleine, d.h. ohne Wurzelexponenten, dann ist immer die zweite, die so genannte Quadratwurzel, gemeint.

Addition und Subtraktion: 1. der Wurzelgesetze

Das Wurzelziehen ist eine Umkehrung des Potenzierens.

Das Wurzelziehen ist eine Umkehrung des Potenzierens.

Addieren und subtrahieren kann man nur Wurzelausdrücke, bei denen sowohl Radikand, als auch der Wurzelexponent übereinstimmen. Ist dies der Fall, können die Vorfaktoren addiert, bzw. subtrahiert werden.
3) x?a+y?a=(x+y)?a z.B.: ?a×?a=2?a

Multiplikation: 2. der Wurzelgesetze

a) Bei gleichen Radikanden, aber unterschiedlichen Wurzelexponenten, werden die Wurzelexponenten multipliziert. Gleichzeitig wird der Radikand mit der Summe der beiden Wurzelexponenten potenziert.
4) ^n?a×^m?a = a^(1/n)×a^(1/m)= a^((m+n)/(nm)) = ^(nm)?(a(^(m+n))
b) Sind jedoch die Radikanden unterschiedlich und die Wurzelexponenten gleich, so kann die Wurzel aus dem Produkt der Radikanden gezogen werden.
5) ^n?a×^n?b = a^(1/n)×b^(1/n) = ab^(1/n) = ^n?(ab)

Division: 3. der Wurzelgesetze

a) Die Division verläuft ähnlich zur Multiplikation. Bei gleichen Radikanden, werden die die Exponenten multipliziert, während der Radikand bei der Division, mit der Differenz der Wurzelexponenten potenziert wird.
6) (^n?a)/(^m?a) = (a^(1/n))/(a^(1/m)) = a^(1/n-1/m) = a^((m-n)/nm) = ^(nm)?(a^(m-n))
b) Bei gleichen Wurzelexponenten werden die Radikanden dividiert und aus dem Quotienten die Wurzel gezogen.
7) (^n?a)/(^n?b) = (a^(1/n))/(b^(1/n)) = ^n?(a/b)

Potenzieren: 4. der Wurzelgesetze

Beim Potenzieren von Wurzelausdrücken kann die Potenz in die Wurzel gezogen werden, sodass der Radikand potenziert wird. Wurzelexponenten lassen sich gegeneinander kürzen.
8) (^n?a)^m = (a^(1/n))^m = a^(m/n) = ^n?(a^m)

Radizieren: 5. der Wurzelgesetze

Das letzte der Wurzelgesetze ist das Radizieren von Wurzeln, wobei die Wurzelexponenten miteinander multipliziert.
9) ^n?(^m?a) = (a^(1/m))^(1/n) = a^(1/(mn)) = ^(mn)?a