Das Pascalsche Dreieck ist erst einmal schlicht eine besondere graphische Anordnung von Zahlen, nämlich Zahlen, die in Dreiecksform aufgeschrieben werden. Dabei handelt es sich aber nicht um beliebige Zahlen, sondern um Zahlen, die einen bestimmten Zusammenhang untereinander haben, bzw. die nach einem eindeutigen Bildungsmuster gewählt werden. Ohne irgendeinen Bezug zu einem bestimmten mathematischen Thema herzustellen, kann man die Konstruktion des Pascalschen Dreiecks wie folgt beschreiben:

An der oberen Spitze des Dreiecks steht eine 1. Die darunter stehenden Zeilen (von denen es theoretisch beliebig, also unendlich viele gibt) beginnen und enden auch jeweils mit einer 1. Die Zahlen zwischen den Einsen ergeben sich jeweils als Summe der beiden darüber liegenden Zahlen. (Es heißt also aufgepasst! Eine ordentliche Schreibweise ist hier dringend erforderlich, um den Zusammenhang auch so zu erkennen.) Die zweite Zeile des Pascalschen Dreiecks besteht auch nur aus zwei Einsen, die dritte Zeile hat dann die Einträge 1 – 2 – 1, die vierte dann 1 – 3 – 3 – 1. Jede Zeile hat immer einen Eintrag mehr als ihr Vorgänger. Der heutige Name ‚Pascalsches Dreieck’ geht auf Blaise Pascal zurück, der 1655 ein Buch über die gesammelten Erkenntnisse des Zahlendreiecks und mögliche Anwendungen dieser Ergebnisse schrieb. Die Geschichte des Dreiecks ist aber schon viel älter und erste Darstellungen waren bereits ein paar Jahrhunderte vor Christus bekannt.

Verallgemeinerung der binomischen Formeln


Oftmals begegnet einem das Pascalsche Dreieck erstmals in der Schule, wenn es um die Verallgemeinerung der binomischen Formeln, bzw. den binomischen Lehrsatz geht. Da geht es nämlich darum, die Koeffizienten von Binomen der Art (a+b)n zu bestimmen. Genau diese stehen nämlich in der (n+1)-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks. (So ist (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 und die Koeffizienten – 1 – 4 – 6 – 4 – 1 – entsprechen genau den Einträgen in der 5. Zeile des Pascalschen Dreiecks.) Dieser Zusammenhang geht darauf zurück, dass die Zahlen im Pascalschen Dreieck eben gerade alle möglichen Binomialkoeffizienten darstellen. So ist die erste Zeile – 1 – gerade der Binomialkoeffizient „0 über 0“ (geschrieben in der Regel als die zwei Ziffern übereinander und in Klammern). In der zweiten Zeile stehen die Binomialkoeffizienten „1 über 0“ und „1 über 1“, in der dritten „2 über 0“, „2 über 1“ und „2 über 2“, usw. Ein beliebiger Binomialkoeffizient „n über k“ berechnet sich als Quotient aus n! (das Produkt aller natürlichen Zahlen bis n, also 1*2*3…*(n-1)*n) und dem Produkt k!*(n-k)!.

… und noch viel mehr!

Interessanterweise findet man im Pascalschen Dreieck noch viele weitere mathematische Zusammenhänge:

  • in den r-ten Diagonalen stehen (von oben nach unten gelesen) die regulären figurierten Zahlen der Ordnung r (z. B. in der dritten die Dreieckszahlen und in der vierten die Tetraederzahlen)
  • betrachtet man bestimmte ‚flache Diagonalen’ des Dreiecks, ergeben die Summen der Einträge der flachen Diagonalen Fibonacci-Zahlen
  • die Zeilensumme (Summe der Einträge einer Zeile) verdoppelt sich von Zeile zu Zeile