Der Binominalkoeffizient gehört zur Klasse der mathematischen Funktionen und dient dazu Grundaufgaben der Kombinatorik zu lösen. Der Binominalkoeffizient wird dazu verwendet, um zu bestimmen, auf wie viele Arten man k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten auswählen kann. Dieser Prozess erfolgt ohne Zurücklegen und ohne der Reihenfolge Beachtung zu schenken. Ein Binomialkoeffizient von hängt von 2 Zahlen n und k ab und der Ausdruck wird als „n über k“ gelesen. Falls es sich bei n nicht um eine negative Zahl handelt und n größer bzw. gleich k gilt, so lässt sich der Ausdruck auch als Bruch schreiben. Im Zähler steht hierbei die Fakultät von n, während im Nenner das Produkt aus der Fakultät von k, sowie der Fakultät der Differenz von n-k gebildet wird.

Das pascalsche Dreieck

Benannt ist das pascalsche Dreieck nach dem französischen Mathematiker Blaise Pascal und es handelt sich dabei um eine grafische Darstellung des Binominalkoeffizienten. Dessen Elemente sind hier so im Dreieck angeordnet, dass jedes Element die Summe der zwei darüberstehenden Elemente ist.

Das pascalsche Dreieck wird dazu verwendet, um einfach beliebige Potenzen von Binomen auszumultiplizieren, so kann man beispielsweise in der dritten Zeile die Koeffizienten der ersten beiden binomischen Formeln finden. Diese Auflistung wird beliebig weit fortgeführt und ist damit eine einfache Methode auch höhere Grade schnell zu bestimmen. Benannt wurde das pascalsche Dreieck nach Blaise Pascal.

Die Fibonacci Zahlen
Auch die Fibonacci Zahlen lassen sich im pascalschen Dreieck wiederfinden. Allgemein ist die Fibonicci-Folge eine unendliche Folge von Zahlen, bei denen sich die jeweils folgende immer durch Addition der beiden vorherigen Zahlen ergibt. Im pascalschen Dreieck lassen sich diese Zahlen in den Diagonalen wiederfinden.

Anwendungen

Die Anwendungen des Binominalkoeffizienten liegen vor allem in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Meist wird er zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten von Glücksspielen verwendet, wie

  • Die Wahrscheinlichkeit im Lotto zu gewinnen
  • Eine bestimmte Karte beim Skat zu ziehen
  • Eine bestimmte Kugel aus einer Urne zu ziehen

Interessant ist es vor allen Dingen zu überprüfen, was wahrscheinlicher ist, im Lotto zu gewinnen oder von einem Blitz getroffen zu werden. Nimmt man beispielsweise an, dass jährlich 10 Menschen von den in Deutschland lebenden 82 Millionen vom Blitz getroffen werden, so erhält man eine Wahrscheinlichkeit von 1,2*10^-7.
Die Wahrscheinlichkeit des Lottogewinns lässt sich mit Hilfe des Binominalkoeffizienten leicht bestimmten, es gibt 13.983.816 verschiedene Kombinationen im Lotto. Die Wahrscheinlichkeit mit einem einzigen Spiel im Jahr im Lotto zu gewinnen beträgt also gerade einmal 7,15*10^-8 und ist damit kleiner als die Wahrscheinlich vom Blitz getroffen zu werden.