Die Veränderung ist negativ proportional dem Bestand beschreibt, einen Vorgang der als exponentieller Verfall verläuft. Die Veränderung ist dabei von der Zeit beherrscht. Sie ist also eine endliche Differenz zwischen dem Bestand vor einiger Zeit und einem anderen Zeitpunkt dividiert durch die vergangene Zeit zwischen diesen Zeitpunkten. Die Proportionalität exponentieller Verfall kann identisch sein.

Exponentielles Wachstum

Falls die Veränderung positiv proportional zum Bestand ist, wächst die Bestandsgröße. Wiederum ist die Veränderung des Bestandes der endliche Diffenrenzenquotient aus Beständen zu zurückliegenden Zeitpunkten und den aktuellen Zeitpunkten. Die Biologie und die Physik geben interessante Beispiele mit Algenwachstum und der Aufladung eines Kondensators. Der Wachstumsprozess zeigt bei beiden Phänomenen Sättigung. Mehr als eine Grenzpopulation oder den aufgeladenen Kondensator gibt es nicht. Beides sind Grenzfälle, die in der Praxis nicht angenommen werden. Der Wachstumsprozess unterscheidet sich in der Biologie vom Schrumpf- oder Zerfallsprozess. Die Biologie kennt das Aussterben einer Spezies. Der Kondensator enthält als Grenzfall der Entladung keine Ladung mehr.

Bestandsgrößen und wirtschaftlicher Erfolg

Wirtschaftlicher Erfolg beruht auf vielen Abhängigkeiten. Bei klaren Marktvorteilen in einem neuen Markt verläuft der Wachstumsprozess lange Zeit exponentiell. Die Sättigung kann schwer erkannt werden, weil die Grenzwerte unbekannt sind. Die Exponentialfunktion ist nicht recht stabil für eine Voraus-Bestimmung ihrer Parameter, obwohl die Dimensionen bekannt sind. Es kann das Alleinstellungsmerkmal rasch verloren gehen, die Bevölkerung kann wechseln oder andere Merkmalskombinationen bevorzugen. Wirtschaftlicher Erfolg braucht nur die Gewinngrenze zu übertreffen. Gewinn erreicht, wer mehr einnimmt als er ausgibt. Mit verderblichen Waren können bei exponentiellem Verfall und exponentieller Vermehrung der Verbraucher Punkte optimaler Bedingungen der Versorgung berechnet werden und so der Gewinn gesteigert werden. Dazu werden Marktzahlen aus den Vorjahren auf Pflanzenbestände vor der Ernte angewendet. In den Rechnungen sind vor allem die Werte der Nachfrage geschätzt. Kurzfristige Ernteausfälle oder andere Verluste der Ware können den exponentiellen Verfall stark beschleunigen.

Der exponentielle Verfall ist in vielen wirtschaftlichen Modellrechnungen verwendet worden, sodass stets die Modellrechnung benannt werden sollte bei wissenschaftlich-wirtschaftlicher Auseinandersetzung mit aussagekräftigen Ergebnissen. Wesentlich bestimmt die Komplexität der diskutierten wirtschaftliche Situation die Anzahl der auftretenden exponentiellen Verfall – Typen und eventueller Polynomfaktoren vor der Funktion oder in ihrem Exponenten. Retardierung oder Avancierung müssen mathematisch behandelt werden. Oft entstehen Integralgleichungen deren Kern unbestimmbar bleibt und für Einzel- oder Grenzfälle diskutiert werden kann.

Letztlich kann nur eine numerische Simulation einigermaßen hochwertige Resultate berechnen. Ein faszinierender exponentieller Verfall ist die Moore’sche Vorhersage, die eine Verdopplung der Fähigkeiten von Computer auf der Basis der Anzahl integrierter Schaltkreise in CPUs prognostiziert. Die wirtschaftlichen Prozesse, die diese Prognose gültig halten, sind global verteilt und keineswegs zentral gelenkt. Die Innovationsfähigkeit sehr vieler komplex zusammenhängender Wirtschaften steigert die Miniaturisierung der Schaltkreise. Wirtschaft ist vielfältig und kommt der Schönheit des exponentiellen Verfalls nah.