In der Trigonometrie gibt der Kosinussatz eine Verbindung von den 3 Seiten eines Dreiecks, sowie dem Kosinus eines der Winkels, an. Es handelt sich um eine von vielen Winkelfunktionen im allgemeinen Dreieck. Für ein Dreieck mit den Seiten a, b und c, sowie den zugehörigen Winkeln ?, ?, und ?. Hierbei ist ? der Winkel, der von den Seiten a und b eingeschlossen wird.
Hieraus ergibt sich die Definition für ein allgemeines Dreieck:
c²=a²+b²-2*a*b*cos(?)
Daraus lässt sich für die anderen beiden Winkel der folgende Kosinussatz aufstellen:
a²=b²+c²-2*b*c*cos(?)
b²=a²+c²-2*a*c*cos(?)

 

Spezialfall – Der Satz des Pythagoras

Im besonderen Fall, dass einer es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, so ergibt sich aus dem Kosinussatz der Satz des Pythagoras. Der Beweis für diese Besonderheit des Kosinussatzes ergibt sich durch einfaches Einsetzen. Laut Definition beträgt der cos(90°) nämlich 0 und damit wird der gesamte Subtrahend 0, da so das gesamte Produkt 0 wird. Somit ist es bewiesen, dass der Satz des Pythagoras eine Verallgemeinerung des Kosinussatzes ist.

Kongruenzsätze

Die Kongruenzsätze SSS (Seite-Seite-Seite) und SWS (Seite-Winkel-Seite) geben an, dass ein Dreieck bestimmt ist, wenn entweder alle 3 Seiten oder 2 Seiten, sowie ihr Zwischenwinkel gegeben sind. Dank des Kosinussatzes kann man noch ein viertes Teil des jeweiligen Dreiecks einfach errechnen. In dem Fall, dass der Kongruenzsatz SSS gilt, so kann man einen beliebigen Winkel bestimmen. Wendet man den Kosinussatz anschließend ein weiteres Mal an, sind auch die anderen Teile des Dreiecks errechenbar. Hierfür kann man selbstverständlich auch den Sinussatz oder die Winkelsumme im Dreieck ausnutzen.
Auch für die übrigen Kongruenzsätze bietet der Kosinussatz die Möglichkeit weitere Teile des Dreiecks zu bestimmen.

Anwendungen im realen Leben

Natürlich kann man mit Hilfe des Kosinussatzes nicht nur Probleme innerhalb der Mathematik lösen. Die Anwendungen für den Kosinussatz im, sowie dem Sonderfall dem Satz des Pythagoras, im Alltag sind vielfältig. Hier eine Auswahl an Anwendungsmöglichkeiten:

  • In der Baubranche – vor allem beim Brückenbau
  • Abstandsberechnung von Gegenständen
  • Die Diagonale eines Bildschirms bestimmen
  • Das Spannen eines Netzes

Wie man sieht sind die Anwendungen vielseitig und begegnen einem im Alltag nahezu überall. Meist ist es einem gar nicht bewusst, dass diese mathematische Anwendung hinter einer Sache steht, die man für selbstverständlich hält. Es lohnt sich also dieses Thema sich genauer anzuschauen, denn es handelt sich um eine einfache Rechnung, die schnell nachzuvollziehen ist.