Der Satz des Pythagoras ist einer der wichtigsten Sätze der Trigonometrie. Benannt wurde er nach dem griechischen Philosophen Pythagoras von Samos, welcher ihn im 6. Jahrhundert vor Christus als Erster mathematisch bewiesen haben soll. Es ist nicht bekannt, ob Pythagoras den Satz auch tatsächlich selbst entdeckt oder ihn von den Babyloniern übernommen hat.

Die Formel

In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, als Hypotenuse. Die beiden anderen – an den rechten Winkel angrenzenden Seiten – bezeichnet man als Katheten. Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist. Bezeichnet man die Katheten mit a und b und die Hypotenuse mit der Variablen c, so lässt sich der Satz des Pythagoras mathematisch mit a²+b²=c² ausdrücken. Sind nun zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt, die andere aber unbekannt, so lässt sich die unbekannte Seite mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Dazu muss der Satz lediglich entsprechend umgestellt werden. Folgende Auflistung zeigt den umgestellten Satz des Pythagoras für die Berechnung der jeweiligen unbekannten Seiten:

  • a=?(c²-b²)
  • b=?(c²-a²)
  • c=?(a²+b²)

    Mithilfe des Satz des Pythagoras kann man die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen.

    Mithilfe des Satz des Pythagoras kann man die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen.

Satz des Pythagoras und Kosinussatz

Der Satz des Pythagoras ist im Grunde ein Kosinussatz, bzw. der Kosinussatz ist eine Verallgemeinerung des Satz des Pythagoras. Dieser stellt genau wie der Satz des Pythagoras eine Beziehung zwischen den Seiten eines Dreiecks und deren Winkeln her, lässt sich aber auch auf nicht rechtwinklige Dreiecke anwenden. Für die Seite c eines Dreiecks gilt nach dem Kosinussatz: c²=a²+b²-2ab*cos ?. Wobei ? der Winkel ist, der c gegenüberliegt. Da in einem rechtwinkligen Dreieck ?=90° beträgt, ergibt sich für cos ? = 0. So wird aus dem Kosinussatz: c²=a²+b²- 2ab*0, also c²=a²+b².