Das Fremdwort Gon bedeutet und ist ein Maß für Winkel. Diese Kenntnis erschließt den Begriff Trigonometrie als Messen der drei Winkel. Etwas gebräuchlicher ist die Übersetzung Wissen über Dreiecke. Das Fachgebiet zerfällt in ebene und räumliche Trigonometrie. Ebene wird oft als zweidimensional cartesisch aufgefasst. Sphärische Dreiecke auf der Kugeloberfläche sind zweidimensional.

Konstruktiver Zugang zur Trigonometrie

Die Trigonometrie gehört zu den älteren mathematischen Gebieten. Zentral ist der Winkel und die Strecke. Beide sind orientiert. Der Winkel tritt an geschnittenen Geraden auf. Es gibt Gegen- und Wechselwinkel und Sätze zu Winkelsummen. 3 Punkte lassen sich durch Strecken verbinden. Sie legen damit 3 Streckenlängen und 3 Winkel fest. Um die Strecken und Punkte können mathematische Konstruktionen mit Zirkel und Lineal konstruiert werden und viele Sätze und Begriffe gebildet, bewiesen und weiterentwickelt werden.

Der Kosinussatz in der Trigonometrie

Im Zentrum vom Kosinussatz stehen 2 gekreuzte Strecken. Die Schulmathematik vereinfacht auf 2 von einem Punkt ausgehende Strecken. Der von ihnen eingeschlossene Winkel kann mittels des Kosinussatz aus den Streckenlänge berechnet werden. Das Quadrat der Streckenlänge zwischen den beiden Streckenenden ist der Summe der Quadrate aus den beiden Streckenlänge und davon subtrahiert das doppelte des Produktes der beiden Streckenlängen multipliziert mit dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels gleich.

 

Satz des Pythagoras und Sinussatz

Der Satz des Pythagoras ist der Spezialfall des Kosinussatzes für den eingeschlossenen rechten Winkel. Für den rechten Winkel wird der Kosinus Null und die Formel von Pythagoras ist erhalten. Für die Berechnung der trigonometrischen Funktionen bevorzugen wegen der einfacheren Rechnung Mathematiker das Dreieck. Der Sinussatz enthält deshalb in vielen Darstellungen nur noch das Verhältnis von doppelten Umkreisradius und der gegenüberliegende Streckenlänge und dem Sinus des Winkels.

Kongruenzsätze

Die Kongruenzsätze gehören zu den Symmetrien der ebenen Geometrie. Bei Dreiecken definieren sie eine Äquivalenzrelation. Es gibt 4 Dreieckskongruenzen. Es sind:

  • SSS-Satz (1. Kongruenzsatz): Zwei Dreiecke, deren Streckenlängen übereinstimmen, sind kongruent.
  • SWS-Satz (2. Kongruenzsatz): Zwei Dreiecke, deren zwei Streckenlängen und ihrem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen, sind kongruent.
  • WSW-Satz (3. Kongruenzsatz): Zwei Dreiecke, die in einer Streckenlängen und in den dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent.
  • SSW-Satz (4. Kongruenzsatz): Zwei Dreiecke, die in zwei Streckenlängen und in jenem Winkel übereinstimmen, der der längeren Seite gegenüberliegt, sind kongruent.

Der Ähnlichkeitsatz besagt, zwei Dreiecke, in den drei Innenwinkeln übereinstimmen, sind nicht notwendigerweise kongruent sondern stets ähnlich.