Winkelfunktionen werden in der Trigonometrie zur Winkelberechnung eines rechtwinkligen Dreiecks benötigt. Dabei wird das Verhältnis zwischen Winkelgrößen und Seitenlängen genutzt. Die drei Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens sind eng miteinander verbunden und lassen sich in einander umrechnen. Zu jedem Sinus-, Kosinus- und Tangenswert gehört eine eindeutig zugeordnete Winkelgröße. Die Verfahren sind Vereinfachungen Des Sinussatzes, des Kosinussatzes und des Tangenssatzes.

Für die Anwendung der Winkelfunktionen werden für ein Dreieck zum Beispiel folgende Annahmen getroffen:

  • Gamma ist der rechte Winkel, also 90° groß
  • die Seite c ist die Hypotenuse
  • zum Winkel alpha ist die gegenüberliegende Seite a die Gegenkathete und die anliegende Seite b die Ankathete


Je nach vorgegebenen Maßen kann mittels der Winkelfunktionen jetzt der Winkel alpha auf verschiedenen Wegen berechnet werden:

Sinus

Die Winkelfunktion des Sinus drückt das Verhältnis zwischen der Gegenkathete und der Hypotenuse aus. Deshalb kann er nur genutzt werden, wenn die Längen dieser Seiten bekannt sind. Der zugehörige Winkel kann dann mittels folgender Formel bestimmt werden:

sin(alpha) = Gegenkathete/Hypotenuse = a/c

Sin(alpha) gibt noch nicht den Winkelwert an, dieser wird mit der Funktion Arcus-Sinus ausgegeben.

Cosinus

Die Winkelfunktion des Kosinus gibt das Verhältnis zwischen der Ankathete und der Hypotenuse wieder. In diesem Fall müssen also diese beiden Seiten bekannt sein:

cos(alpha)= Ankathete/Hypotenuse = b/c

Hier wird die Winkelgröße über die Funktion Arcus-Kosinus ausgegeben.

Tangens

Die Winkelfunktion des Tangens beziffert das Verhältnis zwischen der Gegenkathete und der Ankathete, deren Größe für diese Rechnung angegeben sein müssen:

Tangens: tan(alpha) = Gegenkathete/Ankathete = a/b

Für die endgültige Bestimmung der Winkelgröße muss noch Arcus-Tangens berechnet werden.

Umstellungen

Die Winkelfunktionen können mittels der richtigen Umformung auch genutzt werden, um bei der Angabe einer Winkelgröße und einer Seitenlänge die Länge einer anderen Seite zu bestimmen. Zum Beispiel ergeben sich aus der Formel für den Sinus die Hypotenuse und die Gegenkathete folgendermaßen:

sin(alpha) = Gegenkathete/Hypotenuse = a/c
sin(alpha)*Hypotenuse = sin(alpha)*c = Gegenkathete = a
Gegenkathete/sin(alpha) = a/sin(alpha) = Hypotenuse = c

Anwendbarkeit

Die Winkelfunktionen lassen sich vielfältig nutzen. Die Höhe eines Baumes kann man ausrechnen, wenn man von einem Punkt aus den Abstand zum Baum bestimmt und den Winkel, um von dort aus auf die Spitze zu zielen. Kompliziertere Anwendungen der Winkelfunktionen sind die Bestimmung von Durchmessern wie die der Erde, der Sonne oder des Mondes, von Entfernungen zur Sonne und anderen Sternen und die Höhe von Wolken mit Hilfe von Lasern.