Die Trigonometrie ist eine Teildisziplin der Mathematik, genauer der Geometrie. Sie beschäftigt sich mit der Bestimmung von Dreiecksgrößen wie Winkeln, Seitenlängen, Umkreisradius, etc. Auch die Konstruktion von Dreiecken fällt (vor allem in der Schulmathematik) unter den Begriff Trigonometrie, da sie ja das Wissen bestimmter Dreiecksgrößen voraussetzt.

Das Wort ‚Trigonometrie’ hat seinen Ursprung im Griechischen und ist von den Wörtern trígonon (Dreieck) und métron (Maß) abgeleitet. Die heutigen Bezeichnungen und Schreibweisen der Dreieckslehre gehen fast alle auf den Mathematiker Leonhard Euler (1707-1783) zurück.

Mit Funktionen funktioniert’s

Zentraler Bestandteil der Trigonometrie sind die trigonometrischen Winkelfunktionen, vor allem Sinus, Kosinus und Tangens, die für ein rechtwinkliges Dreieck definiert werden und die einem Winkel ein bestimmtes Seitenverhältnis zuordnen. In einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet man die Seite, die dem rechten Winkel regenüberliegt als Hypotenuse, die anderen beiden Seiten als Katheten. Es gibt dann für jeden der nicht-rechten Winkel eine Kathete, die ihm gegenüberliegt (Gegenkathete) und eine, die einen Schenkel des Winkels darstellt, an welcher der Winkel also anliegt (Ankathete). Mit diesen Bezeichnungen werden die Winkelfunktionen wie folgt definiert:

  • Sinus: sin ? = Gegenkathete/Hypotenuse
  • Kosinus: cos ? = Ankathete/Hypotenuse
  • Tangens: tan ? = Gegenkathete/Ankathete
  • Kotangens: cot ? = Ankathete/Gegenkathete
  • Sekans: sec ? = Hypotenuse/Ankathete
  • Kosekans: csc ? = Hypotenuse/Gegenkathete

Mit diesen Funktionen kann also aus zwei vorgegebenen Werten ein fehlender Winkel oder eine fehlende Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet werden.

Wichtige Sätze

Bekannt ist der ‚übliche’ Pythagoras für ein rechtwinkliges Dreieck, der besagt, dass der Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse der Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten entspricht (a2+b2 = c2). Es gibt aber auch den sogenannten ‚trigonometrischen’ Pythagoras, der nichts über die Dreiecksseiten aussagt sondern über einen beliebigen Winkel. Er lautet (sin ?)2+(cos ?)2 = 1. Durch Betrachtung von geeigneten Teildreiecken kann man diese Sätze beweisen, die ebenfalls in beliebigen Dreiecken gelten:

  • Sinussatz: sin ?/a = sin ?/b = sin ?/c
  • Kosinussatz:
    • a2 = b2+c2-2bc*cos ? bzw.
    • b2 = a2+c2-2ac*cos ? bzw.
    • c2 = a2+b2-2ab*cos ?

Anwendungen der Trigonometrie

Die Trigonometrie ist in unserer Alltagswelt gegenwärtiger, als man es im allgemeinen von Mathematik erwartet, denn sie ist sehr anwendungsbezogen. Gerade in Bereichen, in denen es um das Berechnen von Entfernungen geht, sind trigonometrische Betrachtungen fast unerlässlich. In der Vermessungstechnik und der Astronomie ist es zusätzlich grundlegend, die Positionen von bestimmten Punkten berechnen zu können. Damit ist die Trigonometrie auch Basis für Navigationsberechnungen für Flugzeuge oder Schiffe. Disziplinübergreifend werden die trigonometrischen Funktionen in der Physik zur Darstellung und Berechnung von Spannungen und Schwingungen (z. B. Schallwellen) gebraucht.